Ecuación de la elipse, la hipérbola y la parábola en forma compleja

Question

Escribe la ecuación de una elipse, una hipérbola y una parábola en forma compleja.

Para una elipse, hay dos focos $a,b$ y la suma de las distancias a ambos focos es constante. Así que $|z-a|+|z-b|=c$ .

Para una hipérbola, hay dos focos $a,b$ y el valor absoluto de la diferencia de las distancias a ambos focos es constante. Así que $||z-a|-|z-b||=c$ .

Para una parábola, hay un foco $a$ y una línea $b+ct$ (donde $b,c$ son complejos y el parámetro $t$ es real). Las distancias a ambos deben ser iguales. La distancia al foco es $|z-a|$ . ¿Cómo podemos calcular la distancia a la línea $b+ct$ ?

Answer 1

La distancia del punto $z$ de la línea $b + ct,\; t \in \mathbb{R}$ es la longitud de la proyección de $z-b$ a la normal, que tiene dirección $\pm ic$ . Si identificamos $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$ , encontraríamos la longitud de la proyección calculando el producto interior. Hacemos lo mismo en $\mathbb{C}$ aunque no lo identifiquemos explícitamente con $\mathbb{R}^2$ el producto interno real de $v$ y $w$ expresado en forma compleja, es $\Re \overline{v}w$ .

Así que obtenemos

$$\left\lvert\Re \left(\frac{\overline{ic}(z-b)}{\lvert c\rvert}\right)\right\rvert = \left\lvert\Im \frac{\overline{c}(z-b)}{\lvert c\rvert} \right\rvert$$

como la expresión para la distancia de $z$ de la línea $b + ct$ . Si $c$ se elige con valor absoluto $1$ que se simplifica en $\lvert \Im \overline{c}(z-b)\rvert$ .

Answer 2

Basándose en las ecuaciones de la geometría analítica, se pueden redefinir las ecuaciones de una gráfica en términos de variable compleja tratando el plano complejo como un espacio bidimensional. Considere las ecuaciones de la parábola en la geometría analítica están en las siguientes formas a continuación,

Forma de la ecuación 1: $$ (y-b)^2= 4 a x $$
Forma de la ecuación 2: $$ (x-b)^2= 4 a y $$
Sea z una variable compleja en un plano complejo $\omega$ , se denota mediante la siguiente ecuación $$ z = x + i y $$ donde x e y son las partes real e imaginaria de una variable compleja que corresponde a la abscisa y la ordenada en geometría analítica y su conjugado $$\overline{z}= x - i y$$
C sea un número complejo constante denotado por $$ C= a+i b $$ y su conjugado $$\overline{C}=a- i b$$ Representación compleja de la Parábola de la forma de la ecuación 1: $$ \mid z -C\mid =\frac{ \mid z + \overline{z}\mid}{2} + \frac{\mid C + \overline{C}\mid}{2} $$ Parábola de la forma de la ecuación 2: $$ \mid z -C\mid = \frac{\mid z - \overline{z}\mid}{2} + \frac{\mid C - \overline{C}\mid}{2} $$

Answer 3

Para una elipse, hay dos focos $a,b$ y la suma de las distancias a ambos focos es constante. Así que $$|z−a|+|z−b|=c$$

Para una hipérbola, hay dos focos $a,b$ y el valor absoluto de la diferencia de las distancias a ambos focos es constante. Por tanto, $$||z−a|−|z−b||=c$$