Resolución de la ecuación que implica el factorial

Question

Tengo el siguiente problema:

$$ N^n(N-n)!=A $$

Donde $N$ y $A$ son constantes. Quiero resolver esta ecuación para $n$ (para una variación de la problema de cumpleaños ), pero tengo poca experiencia con la combinatoria.

Una respuesta aproximada es aceptable, así que he intentado usar La aproximación de Stirling pero no importa cómo lo manipule, no puedo conseguir que una respuesta se caiga.

Cualquier orientación sería apreciada.

Answer 1

El mejor método va a depender bastante de los tamaños relativos de $N$ y $A$ pero he aquí una idea que podría funcionar bien en la práctica.

Dividir ambos lados de la ecuación por $N!$ para rendir $$ \frac A{N!} = \frac{N^n(N-n)!}{N!} = \prod_{j=0}^{n-1} \bigg( 1 - \frac jN \bigg)^{-1}. $$ Tome los registros de ambos lados para obtener \begin{align*} \log \frac A{N!} &= \sum_{j=0}^{n-1} \log \bigg( 1 - \frac jN \bigg)^{-1} \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} \bigg( \frac jN + O\bigg( \frac{j^2}{N^2} \bigg) \bigg) \\ &= \frac{n(n-1)}{2N} + O\bigg( \frac{n^3}{N^2} \bigg). \end{align*} Para muchas gamas de $N$ y $A$ Esto demuestra que $n$ será sobre $\sqrt{2N\log(A/N!)}$ .