Demuestra con todo detalle que el conjunto es un espacio vectorial

Question

Así que estoy haciendo una prueba de revisión y tengo este problema:

Demostrar con todo detalle, con las operaciones estándar en R2, que el conjunto

{(x,2x): x is a real number}

es un espacio vectorial.

Intento:

Dada:

$(x_1, 2x_1) \in \mathbb{R}^2$

y

$(x_2, 2x_2) \in \mathbb{R}^2$

Adición:

$(x_1, 2x_1) + (x_2, 2x_2) = (x_1 + x_2, 2x_1 + 2x_2) \in \mathbb{R}^2$

$ = (x_1 + x_2, 2(x_1 + x_2)) \in \mathbb{R}^2$

$ (x, 2x) \in \mathbb{R}^2$

Por tanto, el conjunto es cerrado por adición

Multiplicación escalar:

$c(x_1, 2x_1) = (cx_1, 2(cx_1)) \in \mathbb{R}^2$

$ (x, 2x) \in \mathbb{R}^2$

Por tanto, el conjunto es cerrado bajo multiplicación escalar

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¿Bastan estas operaciones para demostrar que el conjunto es un espacio vectorial? ¿O tengo que pasar por cada una de las siguientes (o en otras palabras tengo que hacer lo mismo para cada propiedad de la definición):

Answer 1

Dado que se trabaja en un subespacio de $\mathbb{R}^2$ que ya sabes que es un espacio vectorial, obtienes bastantes de estos axiomas gratis. A saber, conmutatividad, asociatividad y distributividad.

Con las propiedades que has demostrado que son ciertas puedes deducir el vector cero ya que $0 v=0$ y su subespacio es cerrado bajo multiplicación escalar, y lo mismo para la inversa, $-1 v=-v$ .

Sin embargo, parece que te has saltado algunos pasos en tu razonamiento, después de hacer la suma de dos vectores de tu subespacio, para demostrar que el vector resultante está realmente en ese mismo subespacio deberías demostrar explícitamente que es de la forma $(x,2x)$ (ya casi está).

Para la multiplicación escalar, parece haber tomado un vector genérico de $\mathbb{R}^2$ en lugar de un vector perteneciente a su subconjunto, por lo que también necesita un poco de corrección.

Answer 2

Escriba a $$V=\{(x,2x)\mid x\in\mathbf{R}\}.$$

Aquí lo principal es tener en cuenta que $(x_1,2x_1)+(x_2,2x_2)$ y $c(x_1,2x_1)$ [editar]un error tipográfico estaba aquí - solía decir c(x_1,2x_2) [/edit] pueden escribirse ambos de la forma $(y,2y)$ para algunos $y\in\mathbf{R}$ es decir, que son elementos de $V$ . No ha demostrado que $V$ es cerrado bajo suma y multiplicación escalar a menos que hagas eso.

Como señaló Vhailor, una vez hecho esto, se obtienen los axiomas del espacio vectorial de forma gratuita, porque el conjunto $V$ hereda de $\mathbf{R}^2$ que (esperemos) ya sepas que es un espacio vectorial con respecto a estas mismas operaciones. Así que, para fijar tu prueba, demuestra que

1) $(x_1,2x_1)+(x_2,2x_2)\in V$ para todos $x_1,x_2\in\mathbf{R}$ .

2) $c(x,2x)\in V$ para todos $x\in\mathbf{R}$ .

Mira hacia arriba criterios subespaciales o algo así.

Answer 3

Mi interpretación es que debe darse el siguiente nivel de detalle.

"Propiedades $2$ , $3$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ se deducen fácilmente del hecho de que se mantienen para $\mathbb{R}^2$ ." Eso es todo lo que hay que decir al respecto. Pero debe se dijo.

Ahora trataremos los axiomas restantes.

Lo que escribió para $1$ no está mal, pero para ser totalmente explícito debería haber terminado con $$(x_1,2x_1)+(x_2,2x_2)=(x_1+x_2, 2x_1+2x_2)=(x_1+x_2,2(x_1+x_2)).$$ Así que la suma de nuestros dos vectores es de la forma $(u,2u)$ y, por tanto, está en nuestro conjunto.

Resulta útil dar un nombre a nuestro conjunto, por ejemplo $U$ porque nos referiremos a ella a menudo.

Con lo que terminaste esa parte del argumento, a saber $\in\mathbb{R}^2$ podría ser un problema. Por supuesto, la cosa está en $\mathbb{R}^2$ pero eso es no lo que hay que mostrar. El hecho de que lo escribieras podría interpretarse como indicio de confusión sobre lo que significa ser un subespacio.

A continuación, para $4$ tenemos que demostrar que $0$ vector está en $U$ . Así que todo lo que tenemos que hacer es demostrar que tiene el derecho forma . Esto es fácil, $(0,0)=(0,2(0))$ . En propiedades del vector cero no necesitan prueba, se heredan de $\mathbb{R}^2$ .

Para $5$ necesitamos demostrar que la inversa aditiva ordinaria de un elemento de $U$ está en $U$ . Así que mira la inversa aditiva de $(x,2x)$ . Es $(-x,-2x)$ que es igual a $(-x,2(-x))$ por lo que está en $U$ . Todo lo demás en $5$ se hereda.

Por fin, $6$ . Tenemos que demostrar que si $(x,2x)\in U$ entonces $c(x,2x) \in U$ . Esto es tan fácil como todo lo demás: $$c(x,2x)=(cx,c(2x))=(cx,2(cx))$$ y obviamente (me encanta esa palabra) $(cx,2(cx))\in U$ .

Su propuesta de manejo de la multiplicación escalar no era buena. Lo que hay que demostrar es que $U$ es cerrado bajo multiplicación escalar, y no hubo ningún intento aparente de hacerlo.

En cuanto queda claro lo que realmente hay que verificar, las verificaciones en sí no plantean ningún problema. Lo que se pone a prueba en el problema es si se conoce perfectamente el significado de subespacio.

Answer 4

Alternativamente demuestre el isomorfismo $\rm\ (1,2)\:\mathbb R\: \cong \mathbb R\ $ mediante el mapa lineal $\rm\: r\mapsto r\:(1,2)$

Answer 5

Si has llegado a ese punto, tu libro debería tener un teorema que diga que, básicamente, "los subespacios de los espacios vectoriales son espacios vectoriales", momento en el que sólo tienes que demostrar que tu conjunto es cerrado bajo multiplicación escalar y suma vectorial, cosa que ya has hecho.