¿Por qué no la secuencia de funciones $f_n(x)=nx^n(1-x)$ converge uniformemente?

Question

Sea una secuencia de funciones definidas por $(f_n)_n$ $ $$f_n : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto nx^n(1-x). $

Tenemos $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ % todos $x$. Mi libro de texto dice que la convergencia no es uniforme sin embargo, y no entiendo por qué.

Calcula $$\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - 0 | = \sup_{x \in [0,1]} | nx^n (1-x) | = \ ? $ $ ¿cómo averiguar este supremum?

Cuando se utiliza la definición, veo que $$| nx^n(1-x) - 0 | = | nx^n - nx^{n+1}| \leq | nx^n | + | nx^{n+1}| \leq n + n = 2n. $$ And I can never get this smaller than $\epsilon$. But I couldn't find an explicit $\epsilon > 0 $ and a $x \in [0,1] $ such that $ | f_n(x) | \geq \epsilon. $

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Esto no es una solución, pero puede ser útil a los demás. Me decidí a investigar las funciones geométricamente, por lo que pensé que iba a compartir en caso de que esto trae a la luz los métodos que han sido propuestos por otros.

Esto demuestra (no rigurosa) que la función no debería converger uniformemente y se muestra la máxima en $\frac{n}{n+1}$ aproxima $\frac{1}{e}$ $n$ crece.

Answer 2

Sugerencia:

Definir

$$f_n(x)=nx^n(1-x)\implies f'_n(x)= n^2x^{n-1}(1-x)-nx^n=nx^{n-1}\left(n(1-x)-x\right)=$$

$$=nx^{n-1}\left(n-(1+n)x\right)$$

así que si $\;x\in (0,1)\;$, obtenemos que

$$f_n'(x)=0\iff x=\frac n{1+n}$$

y es fácil de comprobar que lo anterior es un máximo, así

$$\forall\;x\in (0,1)\;,\;\;f_n(x)\le f_n\left(\frac n{1+n}\right)=n\left(\frac n{1+n}\right)^n\left(1-\frac n{1+n}\right)=$$

$$=\frac n{n+1}\frac1{\left(1+\frac1n\right)^n}\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-1}$$

Answer 3

Sugerencia: Demostrar que se alcanza el extremo de $f_n$ $x_n=\frac{n}{n+1}$ y converge que $f_n(x_n)= n\ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n (1-\frac{n}{n+1})$ $n\rightarrow \infty$ a un valor distinto de cero.

Answer 4

Sugerencia. Observe que f_n\left $$ (\frac {n} {n+1} \right)=\left (1 + \frac1n \right)^{-n}\cdot \frac{n}{n+1} $$ then let $n # \to \infty$.

Answer 5

Para este tipo de problemas de uso que el máximo es alcanzado, ya sea en la frontera o en donde la derivada es cero (esto es debido a la compacidad). Calcular la derivada da $$f_n'(x)=n^2x^{n-1}(1-x)-nx^n=(n(1-x)-x)nx^{n-1}=(n-(n+1)x)nx^{n-1}.$$ por lo que el máximo se alcanza en $x_n=\frac{n}{n+1}\in(0,1)$.(El límite de puntos no son relevantes aquí, como $f$ no es idéntica a cero).

Ahora tenemos $$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)|=|f_n(x_n)|,$$ pero esta última expresión puede ser fácilmente calculada de forma explícita.

Por supuesto, la misma expresión es con "$\lim_{n\to \infty}$" en frente de ambos lados, así que todo se reduce a calcular el límite de la mano derecha: si es cero, entonces la convergencia será uniforme, de lo contrario no.