Ayuda con integral

Question

Me parece estar atascado tratando de demostrar que la siguiente integral $$ \int\frac{\cos^mx}{\sin^nx}dx = -\frac{\cos^{m+1}x}{(n-1)\sin^{n-1}x}-\frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-2}x} dx + C\,\,(n \neq 1) $$ Mi pensamiento ha sido hasta ahora que si puedo tomar $$ I = \int\frac{\cos^mx}{\sin^nx}dx $$ He sido capaz de probar que $$ I = -\frac{\cos^{m-1}x}{(n-1)\sin^{n-1}x} - \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\cos^{m-2}x}{\sin^{n-2}x}\,dx+C\,\,\,\,\,(1) $$ y $$ I = \frac{\cos^{m-1}x}{(m-n)\sin^{n-1}x} + \frac{m-1}{m n}\int\frac{\cos^{m-2}x}{\sin^nx}\,dx+C\,\,\,\,\,(2) $$ pero demostrando que $$ I = -\frac{\cos^{m+1}x}{(n-1)\sin^{n-1}x}-\frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-2}x} dx + C $$ parece eludir a mí. He intentado aplicar una técnica similar lo he usado en $(1)$ conseguir $(2)$ a intentar obtener esta integral, pero no parece funcionar.
También puedo mostrar que $$ I = -\frac{\cos^{m+1}x}{(m+1)\sin^{n+1}x} - \frac{n+1}{m+1}\int\frac{\cos^{m+2}x}{\sin^{n+2}x}\, dx + C\,\,\,\,\,(3) $$ pero, obviamente, hay más a él.

Cualquier amplio sugerencias sería más que bienvenido.

Answer 1

Aquí le damos una respuesta mucho más simple, basada en el trabajo que has hecho ya. Denotan su integral por $I_{m,n}$. Entonces su primera identidad es %#% $ de #% esto implica $$I_{m,n}=-\frac{\cos^{m-1}x}{(n-1)\sin^{n-1}x} - \frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2}\ .$ $ ahora $I_ {m, n} = \int\frac {\cos^mx} {\sin^nx} (\cos^2x+\sin^2x) \,dx=I_ {m + 2 n} + I_ {m, n-2} \, $$ y sustituyendo el anterior resultado en esto da lo que quieres directamente.

Answer 2

Después de un poco más de pensamiento (y de muchas más horas de sueño) finalmente me di cuenta de la respuesta:
Vamos $$ I_1 = \int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-2}x}\, dx = \int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-1}x}. \sin x\, dx $$ Integrar a $I_1$ por partes, elegir $u=\frac{\cos^mx}{\sin^{n-1}x}$, $dv = \sin x\, dx$ por lo $v = -\cos x$ $$ du = \frac{\sin^{n-1}x(-m\cos^{m-1}x\sin x)-\cos^mx((n-1)\sin^{n-2}x\cos x)}{(\sin^{n-1}x)^2} $$ $$ =\frac{pecado^{n-1}x\cos^{m-1}x(-m\sin x)-\sin^{n-1}x\cos^{m-1}x((n-1)\sin^{-1}x\cos^2x)}{(\sin^{n-1}x)^2} $$ $$ = \frac{\cos^{m-1}x}{\sin^{n-1}x}(-m\sin x - (n-1)\frac{\cos^2 x}{\sin x}) $$ Así $$ I_1 = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - \int\frac{\cos^{m-1}x}{\sin^{n-1}x}(-m\sin x - (n-1)\frac{\cos^2 x}{\sin x})(-\cos x)\, dx $$ $$ = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - \int\frac{\cos^{m-1}x}{\sin^{n-1}x}(m\sin x\cos x + (n-1)\frac{\cos^3x}{\sin x})\, dx $$ $$ = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - m\int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-2}x}\,dx - (n-1)\int\frac{\cos^{m+2}x}{\sin^nx}\, dx $$ lo que implica $$ (1+m)I_1 = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - (n-1)\int\frac{\cos^{m+2}x}{\sin^nx}\, dx $$ $$ = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - (n-1)\int\frac{\cos^mx. \cos^2 x}{\sin^nx}\, dx $$ $$ = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - (n-1)\int\frac{\cos^mx.(1-\sin^2 x)}{\sin^nx}\, dx $$ $$ = -\frac{\cos^{m+1}x}{\sin^{n-1}x} - (n-1)(\int\frac{\cos^mx}{\sin^nx}\,dx \int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-2}x}\,dx ) $$ Vamos $$ I = \int\frac{\cos^mx}{\sin^nx}\,dx $$ así que ahora tenemos $$ I_1 = \frac{-\cos^{m+1}x}{(1+m)\sin^{n-1}x} - \frac{n-1}{m+1} + \frac{n-1}{m+1}\int\frac{\cos^mx}{\sin^{n-2}x}\,dx $$ $\implies$ $$ (1-\frac{n-1}{m+1})I_1 = \frac{-\cos^{m+1}x}{(1+m)\sin^{n-1}x} - \frac{n-1}{m+1}I $$ $\implies$ $$ \frac{m-n+2}{m+1}I_1 = \frac{-\cos^{m+1}x}{(1+m)\sin^{n-1}x} - \frac{n-1}{m+1}I $$ $\implies$ $$ \frac{n-1}{m+1} = \frac{-\cos^{m+1}x}{(1+m)\sin^{n-1}x} - \frac{m-n+2}{m+1}I_1 $$ $\implies$ $$ I = \frac{m+1}{n-1}.\frac{-\cos^{m+1}x}{(1+m)\sin^{n-1}x} - \frac{m+1}{n-1}.\frac{m-n+2}{m+1}I_1 $$ $$ = \frac{-\cos^{m+1}x}{(n-1)\sin^{n-1}x} - \frac{m-n+2}{n-1}I_1 $$ Todos los comentarios muy apreciado!