Prueba elegante para una desigualdad que involucra erf

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente desigualdad para $0 < x < 1$:

$$\operatorname{erf}\left(\frac{(1+x)\sqrt{\ln{(1+x)}}}{\sqrt{(1+x)^2 - 1}}\right) - \operatorname{erf}\left(\frac{\sqrt{\ln{(1+x)}}}{\sqrt{(1+x)^2 - 1}}\right) \geq \frac{x}{4}$$

Prueba por WolframAlpha: http://goo.gl/15mrM

Yo también podría construir una Prueba por Mathematica, sin demasiados problemas.

Sin embargo, estoy en busca de una forma más elegante de la prueba de esta desigualdad. Mi enfoque se va a implicar que muestra que esto tiene para $x = 0$$x = 1$, y, a continuación, mostrar la función es cóncava. Sin embargo, tomando la segunda derivada de los rendimientos de los siguientes monstruosidad: http://goo.gl/fKxca

Es allí una manera más elegante para demostrar esto? No me importaría que muestra una disminución en la desigualdad de la forma $\geq \frac{x}{c}$ (para algunos explícita $c$) si la prueba es lo suficientemente simple.

Answer 1

No sé si es la metodología elegante que estás buscando, pero he aquí una sugerencia: arreglar cualquier $x_0 > $, y definir $$ f_{x_0}\colon y > 0 \mapsto \operatorname{fer}\left(\frac{(1+y)\sqrt{\ln(1+x_0)}}{\sqrt{(1+x_0)^2-1}}\right) $$ Ahora, ¿qué quieres demostrar que es $$\begin{equation} f_{x_0}\!(x_0)-f_{x_0}\!(0) \geq \frac{x_0}{4} \tag{1} \end{equation}$$ por lo que es suficiente para demostrar que para todos los $y\in[0,2x_0]$, $$\begin{equation} f_{x_0}\!(y)-f_{x_0}\!(0) \geq \frac{y}{4} \end{equation}$$ es decir, $$\begin{equation} \frac{f_{x_0}\!(y)-f_{x_0}\!(0)}{y} \geq \frac{1}{4} \tag{2} \end{equation}$$ Desde $f_{x_0}$ es cóncava, puede utilizar los argumentos usuales acerca de concavidad/convexidad (por ejemplo, una función cóncava tiene una pendiente decreciente).

¿Que sentido? (No estoy seguro de que es fácil, pero el punto es "sólo" para reducir el problema a una función cóncava - para que (2) puede ser más fácil))