Deje $g \in L^{\infty}(\mathbb R)$. Considere la posibilidad de que el operador $$ \begin{split} T_g\colon & L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R) \\ & f \mapsto gf \end{split} $$ Demostrar que $T_g$ es compacto (es decir, la imagen en $T_g$ delimitada de conjuntos cerrados es compacto) si y sólo si $g=0$.e.
No sé cómo empezar y estoy muy confundido. Sé muy poco acerca de la compacidad en $L^p$: por supuesto que son completa de métricas de espacios, por lo tanto un subespacio es compacto si y sólo si es cerrado (completo) y totalmente acotado. Un singleton es, por supuesto, totalmente delimitado y creo que es cerrado: por lo tanto puedo decir que si $g=0$.e. a continuación, la imagen de cada subespacio es $\{0\}$ que es compacto, de forma que el operador compacto. ¿Qué acerca de la inversa de la dirección? Parece difícil de probar. ¿Me podrías ayudar, por favor? Gracias.
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Supongamos que $g$ no es cero.e. y deje $\epsilon>0$ ser tal que $E=\{x:|g(x)|>\epsilon\}$ tiene un valor distinto de cero de la medida. Considere la posibilidad de la proyección ortogonal $p=T_{\chi_{E}}$. Suponga que $T_{g}$ es un operador compacto. El operador $T_{g}$ natural induce un operador lineal continuo de $L^2(\mathbb{R})$ en el subespacio de Hilbert $pL^{2}(\mathbb{R})=\{\xi \in L^{2}(\mathbb{R}):p\xi=\xi\}$, que es un espacio de Banach. Este mapa es, desde $\xi \in pL^{2}(\mathbb{R})$ se asigna a la $L^{2}$ función igual a $\xi(x)/g(x)$ $E$ y cero en otro lugar. Por la asignación abierta teorema tenemos que este inducida por el mapa es abierto, y por tanto, la imagen de la unidad de la bola de $L^{2}(\mathbb{R})$ bajo este inducida por el mapa contiene un abierto balón $B$, y por lo tanto el cierre contiene un cerrado balón $\overline{B}$. Esta cerrada la bola no es compacto, ya que $pL^2(\mathbb{R})$ es de dimensiones infinitas. Pero la imagen de la unidad de la bola de $L^2(\mathbb{R})$ bajo una compacta de operador debe tener compacto de cierre, y cerró los subconjuntos compactos de conjuntos debe ser compacto, así que esto es una contradicción.
Supongamos que hay un $\epsilon > 0$ tal que $M_\epsilon = \{ x \;\vert\; g(x) > \epsilon\}$ tiene medida positiva $\mu(M_\epsilon) > 0$. Ahora escoja una secuencia de juegos $M_n \subset M_\epsilon$ con
- $M_{n+1} \subset M_n$ y
- $\mu(M_{n+1}) < \frac{1}{2}\mu(M_n)$ % todos $n \in \mathbb N$.
Tenga en cuenta que 2. implica $\mu(M_n) > 0$ % todo $n\in \mathbb N$y $\mu(M_n) \to 0$ $n \to \infty$. Que $f_n(x) = \mu(M_n)^{-1}\chi_{M_n}(x)$ denotan la función característica normalizada de $M_n$. Mostramos ahora que $T_gf_n$ no contiene un subsequence convergente:
Tenemos
$$\Vert T_gf_m - T_gf_n\Vert_2^2 \geq \epsilon^2\Vert f_m -f_n \Vert_2^2 = \epsilon^2 \left(\mu(M_m)\left( \frac{1}{\mu(M_m)} - \frac{1}{\mu(M_n)}\right)^2 + \frac{\mu(M_n \setminus M_m)}{\mu(M_n)^2} \right)\geq \epsilon^2 \frac{\mu(M_n)}{\mu(M_n)^2} \to \infty$$
$m > n$ y $\mu(M_n) < 1$.
Si $\lVert g\rVert_{\infty}\neq 0$, revisión, $\Delta_n$ una secuencia de subconjuntos medibles de $\Bbb R$ tal que $\lambda(\Delta_n)\in (0,+\infty)$ y para todos $n\in \Bbb N$, $x\in\Delta_n$, tenemos $|g(x)|\geq\lVert g\rVert_{\infty}-\frac 1n$.
- Podemos suponer que $\lambda(\Delta_n)\to 0$, ya que la secuencia de $\{\Delta_n\}$ puede wbe elegido disminuyendo, y si la medida de la intersección es no negativo, $g$ sería constante igual a $C$ a través de un conjunto de medida positiva $A_0$. Si tenemos una secuencia de la forma $\chi_{A_0}f_n$ que es débilmente convergente pero no de las fo de la norma. A continuación,$T_g(\chi_{A_0}f_n)=C\chi_{A_0}f_n$, que no es fuertemente convergente. Por tanto, en este caso ya tenemos eso $T_g$ no es compacto.
- Tendríamos, si $T_g$ eran compactas, que
$$\tag{*} \lim_{N\to +\infty}\sup_{n\in\Bbb N}\int_{\{1\geq N\lambda(\Delta_n)\}}g^2\frac{\chi_{\Delta_n}}{\lambda(\Delta_n)}dx=0.$$ Para ver esto, utilice precompactness y un "$2\varepsilon$" argumento. Con el supuesto de hecho en el primer punto, podemos, para cada entero $N$, escoja un número entero $k(N)$$1\geq N\lambda(\Delta_{k(N)})$. Podemos elegir la secuencia de $\{k(N)\}$ estrictamente creciente, por lo tanto $1/k(N)< \lVert g\rVert_{\infty}$ $N$ lo suficientemente grande. Tendríamos $$\lim_{N\to +\infty}\left(\lVert g\rVert_{\infty}-\frac 1{k(N)}\right)^2.$$ Pero este límite es $\lVert g\rVert_{\infty}$.
Un método alternativo es el siguiente: usamos el hecho de que el espectro de un operador de multiplicación, es esencial el rango de $g$. El espectro de una compacta auto-adjunto del operador es una secuencia que convergen a $0$, de ahí que lo esencial de la imagen de $g$$\{0\}$.
