Demostrar p (a) ∪ p (b) ⊆ P (A ∪ B).

Question

Tengo una presentación de este lunes. Pensé que era bastante sencilla, pero mi profesor escribió "Usted necesita para mostrar por qué x es P(AUB), no del estado, que lo es". Pensé que yo tenía. He aquí lo que tengo:

Prueba. Supongamos Que X ∈P(A)∪P(B). Por definición de unión, esto significa que X ∈ P(a) o X ∈ P(B). Por definición de conjuntos de poder X ⊆ a o X ⊆ B Caso 1. Supongamos que X ⊆ A. Entonces X ⊆ A∪B, y esto significa que X ∈P(A∪B). Caso 2. Supongamos que X ⊆B. Entonces X ⊆ A∪B, y esto significa que X ∈P(A∪B). Por el caso 1 y 2, X ∈P(A∪B). Por lo tanto X ∈P(a)∪P(B) implica X ∈P(A∪B), y por lo tanto P(A)∪P(B)⊆ P(A∪B). Qed

Soy tan malo en esto. Me siento tan estúpido.

Answer 1

He aquí un enfoque más sencillo (de todos modos, uno diferente). Vamos a utilizar estos dos hechos generales: $$\text{If } X \subseteq Y \text{ then } \mathscr{P}(X) \subseteq \mathscr{P}(Y) \tag{1}.$$

$$\text{If } X \subseteq Z \text{ and } Y \subseteq Z \text{ then } X \cup Y \subseteq Z \tag{2}.$$

Estos son (muy) fácil de probar si aún no lo ha demostrado en su curso. ("Probar" las cantidades a desempacar las definiciones de $\subseteq, \cup$$\mathscr{P}(.)$, lo que revela que son triviales. En ambos casos, lo contrario es cierto.) El uso de estas obviedades, el resultado de la siguiente manera sencilla:

Necesariamente $A \subseteq A \cup B$, por lo que por (1): $$\mathscr{P}(A) \subseteq \mathscr{P}(A \cup B) \text{;} \etiqueta{un} $$ del mismo modo, $B \subseteq A \cup B$, así que de nuevo por (1): $$\mathscr{P}(B) \subseteq \mathscr{P}(A \cup B) \text{.} \etiqueta{b} $$ A partir de (a) y (b), usando (2), llegamos a la conclusión de: $$ \mathscr{P}(A) \cup \mathscr{P}(B) \subseteq \mathscr{P}(A \cup B) \text{.} $$