Ideas acerca de las pruebas

Question

Si hay dos pruebas diferentes para un teorema, a cierto nivel son las dos pruebas el mismo, o pueden ser fundamentalmente diferentes?

¿En otras palabras, si usted tiene dos pruebas de un teorema, puede uno demostrar que las dos pruebas están expresando lo mismo de diferentes maneras, eliminar las redundancias y generan una prueba "más corta"?

Answer 1

Pueden ser "completamente diferente".

Por ejemplo, algunos existencia resultados tanto indirecta de las pruebas y constructivo de las pruebas. A menudo no hay manera de interpretar la "prueba indirecta" como "esencialmente el mismo" que el constructivo de la prueba.

O usted tiene muchas pruebas diferentes de la Reciprocidad Cuadrática. Gauss de la primera prueba, en la "disquisitiones Arithmeticae", es muy constructivo; es hecho por recursión, y por ejemplo le muestra exactamente cómo transformar una solución de $x^2\equiv p\pmod{q}$ en una solución de $x^2\equiv q\pmod{p}$ al $p$ $q$ no son congruentes a $3$ modulo $4$; mientras que su tercera prueba era puramente combinatoria, contando ciertos objetos, y su sexto utiliza sumas de Gauss, de nuevo esencialmente un enfoque diferente. Eisenstein se utiliza infinito productos para su quinta prueba, Kummer utilizado cuadráticas formas, Zolotarev utilizado permutaciones; Auslander y Tolimieri utiliza la transformada de Fourier, Weil usado theta funciones. Estos realmente son esencialmente diferentes enfoques, con una manera fácil de recortar de ellos a lo mismo (a menos que el "pare de ellos hacia abajo" a la declaración de la Reciprocidad Cuadrática).

Answer 2

Pueden venir como "completamente diferente". Considerar las pruebas de la lógica. Un clásico lógico CL puede probar algunos teorema de T utiliza una reductio tipo de argumento. Un constructivista lógico CO demostrando T prueba T de una manera muy diferente. Se da el caso de que las pruebas de CO y CL fueron fundamentalmente el mismo en algún nivel, entonces (al menos así parece) que la prueba de la teoría de CO y CL debe coincidir exactamente. Pero, por supuesto, ellos no, por lo que las pruebas de CO y CL no son fundamentalmente la misma, y por lo tanto diferente. Así, no a la segunda pregunta también.