¿Cómo fue capaz de crear un producto infinito para sinc mediante sus raíces de Euler?

Question

En la Página de Wikipedia para el problema de Basilea, se dice que Euler, en su prueba, encontraron que

$$\begin{align*} \frac{\sin(x)}{x} &= \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \end{align*} $$

porque las raíces se encuentran en $\pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \cdots$ y polinomios finitos son en esta forma (es decir, $(x-\text{root}_1)(x-\text{root}_2)\cdots$).

¿Cómo pudo hacer esto? ¿Por qué esto no sólo hace una función polinómica que tiene las raíces mismas raíces de $(\sin x)/x$? ¿Este método permite realizar otras funciones trigonométricas?

Answer 1

Casi la misma pregunta que se ha publicado aquí recientemente. Espero que esto le añadimos un poco de que no está en los otros las respuestas a esta cuestión.

Sabemos que $\dfrac{\sin x}{x}=0$ al$\sin x= 0$$x\neq0$, y sabemos que $\dfrac{\sin x}{x}$ "$=$" $1$ al $x=0$ (creo que de Euler forma de decir esto es que el $\sin x = x$ al $x$ es infinitamente pequeño). Por lo que esta función debería ser $0$ al $x=\pm\pi$ o $\pm2\pi$ o $\pm3\pi$, etc., por lo que es $$ \begin{align} & \text{constant}\cdot(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)\cdots \\[8pt] & = \text{constant}\cdot(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2)\cdots. \end{align} $$ Al $x=0$, esto es $(-\pi^2)(-4\pi^2)(-9\pi^2)\cdots$. Pero hemos visto antes que al $x=0$, esto es $1$. Por lo tanto, tenemos $$ \begin{align} \frac{\sin x}{x} & = \frac{(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2)\cdots}{(-\pi^2)(-4\pi^2)(-9\pi^2)\cdots} \\[8pt] & = \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots. \end{align} $$

Answer 2

Para resumir,

¿Cómo fue capaz de hacer esto?

Él tuvo suerte, de verdad. Fue una coincidencia que funcionó y una interfaz intuitiva de adivinar. Como Ragib Zaman dijo, "Euler, lo más probable es que se basó en su increíble intuición para adivinar, luego de su gran calcular la capacidad de verificar la validez numéricamente".

La derivación (aunque no exacta para la mayoría de las otras funciones) es:

\begin{align} \frac{\sin(x)}{x}&=(x-\pm \pi)(x-\pm 2\pi)\cdots\\ &=\left(\frac{x}{\pi}-\pm 1\right)\left(\frac{x}{2\pi}-\pm1\right)\cdots\\ &=\left(\frac{x}{\pi}-+1\right)\left(\frac{x}{\pi}--1\right)\left(\frac{x}{2\pi}-+1\right)\left(\frac{x}{2\pi}--1\right)\cdots\\ &=\left(\frac{x}{\pi}-1\right)\left(\frac{x}{\pi}+1\right)\left(\frac{x}{2\pi}-1\right)\left(\frac{x}{2\pi}+1\right)\cdots\\ &=\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{x}{k\pi}-1 \right)\left(\frac{x}{k\pi}+1 \right) \end{align}

¿Por qué no simplemente hacer una función polinómica que tiene las raíces mismas raíces de sinx/x?

Tenga en cuenta que esto hace a la función* con la misma raíz $\frac{\sin(x)}{x}$. Usted puede ver esto por la equiparación de la primera ecuación con $0$.

Puede que este método se utiliza para hacer otras funciones trigonométricas?

Yo no lo creo. Por lo que entiendo, hay seis funciones trigonométricas y eso es todo lo que hay. No hay un límite en el número de funciones trigonométricas; más bien, estos seis son los únicos que han llamado debido a su particularidad, el poder, y el uso. (Usted puede encontrar que es interesante que hay hiperbólico análogos de estas funciones: funciones Hiperbólicas.)

*No creo que esta función podría ser considerado como un polinomio de la función.