Inducción matemática: $3^n +1$ es para todos los valores de enteros positivos

Question

No estoy seguro de cómo ir sobre esto "prueba por inducción" problema. a continuación es mi intento.

Caso Base: $n = 0$,sustituyendo el valor de $n$ a de la ecuación de $3^n+1$ $$= 3^0 + 1$$ $$= 1 + 1 = 2 $$ Por lo tanto la ecuación es cierto para el valor inicial de $n$ i.e $0$

Inducción de la Hipótesis: Supongamos que la ecuación es válida para todos los valores de $n$: $1,2,3....k$ por lo tanto, $3^k + 1$ resultados aún.

Inducción Paso: $n = k$ es cierto,
para probar: $3^{k+1}+ 1$ $n = k+1$

LHS: $$3^{k+1}+ 1 = (3^k \cdot 3) + 1 = (3^k \cdot (2 + 1)) + 1 = 2 \cdot 3^k + 3^k + 1$$

La solución anterior, los resultados aún, porque desde multiplicar cualquier número entero con $2$ le da aún entero, y de la Inducción de la Hipótesis de $3^k+1$ es incluso.

Por lo tanto $3^{k+1} + 1$ es, incluso, lo $3^{n+1}$ es incluso para todos los valores de $n\ge0$

Answer 1

Prueba de lo

$$3^n + 1 \implies (2x + 1)+1 \implies 2x+2$$

Case: $n = 0$ $$ (2\cdot0 + 2) = 2 $$ Case: $n = n$ $$(2n + 2) = 2(n+1) $$ Case: $n = n+1$ $$(2(n+1) + 2) = 2n+4 = 2(n+2)$$ $$\Box$$

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Prueba II

$$(3^n + 1)\text{ mod }2 \implies (3^n + 2 -1) \text{ mod }2 \implies (3^n -1)\text{ mod }2 $$

Caso: $n = 0$ % $ $$3^0 \equiv 1 (\text{ mod }2)\implies 3^0 -1 \equiv 0 (\text{ mod }2)$

Case: $n = n$ $$3^n \equiv 1 (\text{ mod }2)\implies 3^n -1 \equiv 0 (\text{ mod }2)$$ Case: $n = n+1$ $$3^{n+1} \equiv 1 (\text{ mod }2)\implies 3^{n+1} -1 \equiv 0 (\text{ mod }2)$$ $$\Box$$

Caso de la regla de potencia de congruencia

Answer 2

Prueba directa:

$3^n$ no tiene ningún factor de $2$, por lo que es extraño. $3^n+1$ es uno mayor que un número impar.

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Prueba inductiva:

$3^0+1=2$ es.

Supongamos que $3^n+1$ es uniforme, entonces $$ 3 ^ {n + 1} + 1 = 3\left(3^n+1\right)-2 $$ es un número menos el número, por lo tanto, incluso.

Answer 3

Una respuesta más fácil es tener en cuenta que:

$3^n - 1 \equiv 1^n - 1 \equiv 0 (mod 2)$. Por lo tanto, concluimos que el $2|(3^n -1)$. Por lo tanto, $3^n - 1$ siempre es incluso.