Hallar la integral definida de una expresión trigonométrica

Question

Encuentre la integral de $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}{{\sqrt{\sin(2\theta)}} \cdot \sin(\theta)d\theta}$$ Tengo $$I=\int_0^\frac{\pi}{4}{\sqrt{\sin(2\theta)} \cdot (\sin(\theta)+\cos(\theta))d\theta}$$ Pero, estoy atrapado aquí.

Answer 1

La integral $$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin(2\theta)} \, \sin\theta \, d\theta$$ se evalúa haciendo uso de la función Beta. Esto se ve de la siguiente manera. \begin{align} I &= \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin(2\theta)} \, \sin\theta \, d\theta \\ &= \sqrt{2} \, \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3/2}(\theta) \, \cos^{1/2}(\theta) \, d\theta \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \, B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right) \\ &= \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \, \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{4 \, \sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}. \end{align}

Answer 2

Si está interesado en saber cómo hacerlo sin utilizando la función Beta, intente los siguientes pasos. Pero no voy a escribirlo completo porque me llevaría demasiado tiempo.

Llama a la integral $I$ . Primero hacemos la integración por partes, y encontramos que $$I=\int_0^{\frac {\pi}{2}}\frac{\cos 2\theta\cos \theta}{\sqrt{\sin 2\theta}}d\theta$$

Ahora añade esta forma de $I$ a la forma original y obtener $$2I=\int_0^{\frac {\pi}{2}}\frac{\cos \theta}{\sqrt{\sin 2\theta}}d\theta$$

por lo que $$4I=\int_0^{\frac {\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin 2\theta}}{\sin\theta}d\theta$$

Ahora sustituye $t=\sqrt{\tan \theta}$ y terminas con una integral bien conocida, presentada muchas veces en MSE, que requiere una descomposición de fracciones parciales bastante tediosa, pero al final lo consigues...

Espero que esto sea suficiente.

Answer 3

A ligeramente un enfoque diferente: Con el cambio de variables $u=\cos\theta$ , se llega a $$\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin2\theta}\sin\theta\,d\theta=\sqrt2\int_0^1 u^{1/2}(1-u^2)^{1/4}\,du$$ Otra sustitución, $\sqrt t=u$ , produce $$\begin{align*}\sqrt2\int_0^1 t^{1/4}(1-t)^{1/4}\left(\frac{1}{2}t^{-1/2}\right)\,dt&=\frac{\sqrt2}{2}\int_0^1 t^{3/4-1}(1-t)^{5/4-1}\,dt\\[1ex]&=\frac{\sqrt2}{2}\mathrm{B}\left(\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)\end{align*}$$ que es equivalente a la solución de Leucipo.