Demostrar que cuando el $x^2 - dy^2 = c$ de la ecuación es soluble, entonces tiene infinitamente muchas soluciones.
Considero que, si $u$ y $v$ satisfacen $x^2 -dy^2 = c$ y $r$ y $s$ satisfacen $x^2 -cy^2 = 1$ y %#% $ #% pero, todavía no he logrado completar la prueba. Estoy solicitando a los miembros de sobra tiempo para ello. Gracias en advnace.
La ecuación de Pell $x^2 - d y^2 = 1$ siempre tiene una solución fundamental a $(x_0, y_0)$ (solución con menor $x > 1$). Todas las otras soluciones se puede expresar: $$ x_n - y_n \sqrt{d} = (x_0 - y_0 \sqrt{d})^n $$ Lo que ocurre es que si se define en la norma en el ring $\mathbb{Z}(\sqrt{d}) = \{a + b \sqrt{d} \colon a, b \in \mathbb{Z}\}$ por: $$ N(a + b \sqrt{d}) = a^2 - b^2 d $$ entonces, si usted definir el conjugado de a $z = x + y \sqrt{d}$ $\overline{z} = x - y \sqrt{d}$ usted tiene: $$ N(z) = N(\overline{z}) = z \cdot \overline{z} $$ También, desde la $\overline{u \cdot v} = \overline{u} \cdot \overline{v}$ es también: $$ N(u \cdot v) = (u \cdot v) \cdot (\overline{u \cdot v}) = (u \cdot \overline{u}) \cdot (v \cdot \overline{v}) = N(u) \cdot N(v) $$ Su solución es $N(r - s \sqrt{d}) = c$, y tenemos $N(x_0 - y_0 \sqrt{d}) = 1$: $$ N((r - s \sqrt{d}) \cdot (x_0 - y_0 \sqrt{d})^{\pm n}) = N(r - s \sqrt{d}) \cdot \left(N(x_0 - y_0 \sqrt{d})\right)^{\pm n} = c $$ I. e., $(r - s \sqrt{d}) \cdot (x_0 - y_0 \sqrt{d})^n$ define una solución para todas las $n \in \mathbb{Z}$.
El pensamiento es posible simplificar con el fin de ser capaz de escribir las soluciones de la ecuación. Para ello se utiliza la descomposición del número de $c$ sobre los multiplicadores.
$$Z^2-dR^2=c=ab$$
Para registrar las decisiones tienen que saber en primer lugar la solución de la ecuación de Pell $(Z_1;R_1)$.
Y la solución de la siguiente ecuación de Pell $(k_0;n_0)$.
$$k^2-dn^2=1$$
A continuación, la fórmula es como sigue.
$$Z_2=k_0Z_1+dn_0R_1$$
$$R_2=n_0Z_1+k_0R_1$$
El problema en la búsqueda de la primera solución General de la ecuación de Pell $(Z_1;R_1)$.
El significado de la solución es que para el factor de número. $c=ab$
Luego degradable factorización de la diferencia. $xy=a-b$
Si la siguiente expresión puede ser un cuadrado.
$$s^2=\frac{1}{d}((\frac{y+x}{2})^2-a)$$
A continuación, la primera solución está escrito en forma simple.
$$Z_1=ds^2+\frac{y^2-x^2}{4}$$
$$R_1=ys$$
Tales registro de estas fórmulas se simplifican enormemente los cálculos. Siempre es mejor tener una fórmula.
Para la prueba, puede utilizar las soluciones de la ecuación de Pell: $x^2-dy^2=1$
Si la relación no es un cuadrado, entonces la respuesta es siempre no. $(x_0;y_0)$
Si tenemos cualquier solución de la ecuación de Pell: $x^2-dy^2=c$
Tener un formulario: $(x_1;y_1)$
La siguiente solución que puede ser obtenido por la fórmula:
$x_2=x_0x_1+dy_0y_1$
$y_2=y_0x_1+x_0y_1$
Obtenidos estos valores deben ser sustituidos de nuevo en la fórmula. Y así, este proceso puede continuar indefinidamente. Y vamos a conseguir un número infinito de soluciones.
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