Siempre me han dicho que para saber si es o no un campo es conservativo, a ver si la curvatura es cero.
Casi siempre esto es cierto, pero no siempre es cierto.
Ahora he sido informado de que sólo porque la curvatura es cero, no necesariamente significa que es conservador.
Correcto!
Para ilustrar lo que está pasando, vamos a hacer un ejemplo. Conside el siguiente campo vectorial:
$$\vec{v}(x,y)=\frac{-y\hat{x}+x\hat{y}}{x^2+y^2}.$$
Tenga en cuenta que $\vec{v}$ no está definido en el origen.
Es $\vec{v}$ conservador?
Vamos a definir "conservador" de la siguiente manera
Un campo de vectores $\vec{v}$ es conservador, si por cualquier camino cerrado $C$, la integral de la $\int_C \vec{v}\dot\,d\vec{l}=0.$
Considere la ruta parametrizadas como $x(t)=r\cos(2\pi t)$ $y(t)=r\sin(2 \pi t)$ $t$ va de 0 a 1.
Este camino es sólo un círculo de radio de $r$ centrado en el origen.
El desplazamiento en la ruta de acceso es
$$\frac{d\vec{l}}{dt} = 2\pi r \left( - \hat{x}\sin(2\pi t) + \hat{y}\cos(2\pi t) \right).$$
Si integramos nuestro ejemplo, $\vec{v}$ en este camino podemos llegar
$$\begin{align}
\int_C \vec{v}\cdot d\vec{l} &=\int_{t=0}^1 \left( \frac{-y\hat{x}+x\hat{y}}{x^2 + y^2} \right) \cdot
(2\pi r) \left( -\hat{x}\sin(2\pi t) + \hat{y}\cos(2\pi t) \right)\,dt\\
&= 2\pi
\end{align}$$
lo que muestra que $\vec{v}$ definitivamente no es conservador.
Tenga en cuenta que la integral no depende del radio de $r$ de la ruta.
Ahora, calculamos la curvatura de $\vec{v}$.
Para mayor comodidad, definir $r\equiv x^2 + y^2$, es decir, $r$ es el radial de coordenadas polares.
$$\begin{align}
\nabla \times \vec{v} &\equiv \frac{d\vec{v}_y}{dx} - \frac{d\vec{v}_x}{dy}\\
&=\frac{r^2 - 2 x^2}{r^4} - \frac{-r^2 + 2 y^2}{r^4} \\
&= \frac{2r^2 - 2r^2}{r^4}\\
&= 0.
\end{align}$$
Ahora hemos demostrado que el $\vec{v}$ cero, con curl.
Una consecuencia de esto es que si vamos a integrar a $\vec{v}$ a lo largo de cualquier ruta poco en torno a un punto donde $\vec{v}$ está definido, se están garantizados para conseguir cero.
Por lo tanto, $\vec{v}$ cero curl, pero no es conservador.
¿Qué está pasando?
Si la imagen $\vec{v}$ verás que es un remolino de líneas vectoriales, dando vueltas a la de origen.
La magnitud de las líneas disminuye a medida que se aleja del origen.
Esta disminución es la correcta, de modo que si se va a integrar en torno a un pequeño bucle que no rodean el origen (es decir, si usted compruebe el rizo), se obtiene cero.
Sin embargo, debido a la global vueltas alrededor del origen, en el caso de integrar a lo largo de un bucle que no encierre el origen, se puede conseguir algo que no sea cero.
Por lo tanto, se puede pensar en el integral de "sentir" la presencia de el origen y recoger la $2\pi$ hemos calculado, o no se siente el origen y dar cero.
Es como si el origen es un punto especial que vale la pena $2\pi$.
Esto es realmente interesante!
Nuestro campo de $\vec{v}$ es conservador en todas partes localmente, pero si se hace un recorrido alrededor del origen puede obtener un valor distinto de cero integral, por lo $\vec{v}$ no es conservador a nivel mundial.
Recuerde que señaló que $\vec{v}$ no está definido en el origen?
Esto no es un accidente.
Campos vectoriales que son conservadores a nivel local sino a nivel mundial no debe tener "huecos" en la que no están definidos.
De hecho, estos campos vectoriales debe estar llegando a infinito cerca de sus agujeros, que $\vec{v}$ más ciertamente, como se puede comprobar [1].
Los infinitos puntos de "residuos" que se muestran en las integrales que ve a su alrededor.
Para los expertos en la audiencia, este es exactamente el mismo residuo se obtiene de la integración en torno a un simple polo en el plano complejo.
Volvamos a tu pregunta
Para mostrar esto es conservadora, me gustaría seguir adelante y tomar el rizo. Va a ser cero, pero eso no es una prueba definitiva es conservador? ¿Cómo puedo demostrar que es?
Como usted ha dicho, y hemos demostrado, tener cero curl no garantiza que un campo es conservativo.
Lo que no garantiza que un campo es conservativo es que se puede expresar como el gradiente de una función escalar.
En términos matemáticos, si existe una función de $f$ tal que $\nabla f = \vec{v}$, $\vec{v}$ es decir para ser exactos. Exacto campo vectorial es absolutamente 100% garantizado a los conservadores.
Así, una respuesta a su pregunta es que para mostrar un campo vectorial es conservativo, acaba de demostrar que puede ser escrito como el gradiente de una función.
Otra respuesta es, calcular el general trazado cerrado integral del vector de campo y demostrar que es idéntica a cero en todos los casos.
Vayamos, sin embargo, porque esto es realmente super interesante.
Campos vectoriales con cero curl están garantizados para ser exactos, lo que significa que cero curl garantías conservativeness, a menos que el campo vectorial tiene agujeros (es decir, puntos en los que no está definida).
Así, el mantra aprendido que cero curl indica conservativeness es casi siempre cierto, pero no para campos vectoriales que tienen agujeros, como el de nuestro ejemplo, $\vec{v}$ lo hace en el origen.
Ahora aquí está la parte realmente sorprendente.
Si te digo que un campo vectorial tiene exactamente 1 agujero, y que tiene cero curl, pero no es exacto, no es sólo un campo vectorial sea posible (hasta la adición de otros exacta campos vectoriales).
En otras palabras, si yo digo que un campo vectorial $\vec{W}$ cero curl, tiene un agujero, y no es un degradado de cualquier función, entonces usted sabe con certeza que $\vec{W}=\vec{v} + \vec{\lambda}$ donde $\vec{\lambda} = \nabla f$ algunos $f$.
Si repita la misma situación, pero con dos agujeros, entonces usted sabe que $\vec{W}$ se pueden expresar como una combinación lineal de determinados curl-menos pero no exacta campos vectoriales asociados a los dos orificios.
Todo esto se generaliza a espacios de grandes dimensiones.
Si te gusta leer sobre las formas diferenciales.
Usted puede tratar el libro "Análisis de los Colectores" por Munkres, a pesar de que es muy "mathy" libro.
Una última cosa.
En lugar de hablar acerca de tener cero curl y siendo el gradiente de una función, usted puede hablar acerca de tener cero de la divergencia y de ser el rizo de otro campo vectorial.
Normalmente, si un campo vectorial tiene cero divergencia, usted puede escribir como el curl de algo más.
El campo eléctrico de un punto de carga es conservadora y que tiene cero de la divergencia.
Sin embargo, no es el curl de cualquier campo vectorial.
De hecho, es la única $^{[2]}$ campo de vectores en tres dimensiones, que tiene cero de la divergencia y no es un curl de algo más.
Y, por supuesto, el campo eléctrico de un punto de carga se extiende hacia el infinito en el punto de recarga, por lo que este es uno de esos campos donde tener un "agujero" que le permite romper las reglas habituales.
¿Cómo la Naturaleza saber para hacer que?
[1] El numerador de $\vec{v}$$r$, mientras que el denominador va como $r^2$. Por lo tanto, todo pasa como $1/r$ que diverge cerca del origen.
[2] Esto es un poco de declaración incorrecta, pero por ahora está bien.
