¿Es el producto de tres matrices semidefinite positivas positive semidefinite si el producto es simetría? ¿Si es así, cualquier prueba o referencia? Gracias
Papel - en matrices positivas débil, de Wigner 1963, indica que el producto de tres matrices definidas positivas es positivo iff definida el producto es simétrico, pero no extiende la declaración para el caso del psd.
La respuesta es SÍ. Más precisamente, tenemos:
La proposición: Vamos a $A$, $B$ y $C$ ser positivo semidefinite Hermitian matrices del mismo tamaño. Si $D:=ABC$ es Hermitian, a continuación, $D$ también es positiva semidefinite.
Prueba: Desde $A$, $B$, $C$ y $D$ son Herimitian, $$D=ABC=CBA.$$
En primer lugar, supongamos que el $C$ es invertible, entonces existe un único positiva definida Hermitian matriz $S$, de tal manera que $C=S^2$. Entonces sabemos $$S^{-1}D S^{-1}=S^{-1}AS^{-1}\cdot SBS=SBS\cdot S^{-1}AS^{-1},$$ es decir, $D$ es congruente con el producto de dos conmutable positivo semidefinite matrices $S^{-1}AS^{-1}$$SBS$, lo que implica que $D$ es positivo semidefinite.
En segundo lugar, supongamos que el ${\rm Ker}~A\cap {\rm Ker}~C=\{0\}$, es decir, dado un vector de columna $v$, $Av=Cv=0$ iff $v=0$. A continuación, para cada $t>0$, $C_t:=C+tA$ es positiva definida y $D_t:=ABC_t$ es Hermitian, así que a partir de la discusión en el último párrafo sabemos que $D_t$ siempre es positivo semidefinite. Dejando $t\to 0$, por la continuidad, $D$ también es positiva semidefinite.
Por último, si ${\rm Ker}~A\cap {\rm Ker}~C\ne \{0\}$, podemos completar la prueba por inducción sobre el tamaño de la $n$ de las matrices. Deje $U$ ser una matriz unitaria cuya última columna es en ${\rm Ker}~A\cap {\rm Ker}~C$. Entonces $$U^\dagger D U=U^\dagger A U\cdot U^\dagger B U\cdot U^\dagger C U=\begin{pmatrix} \tilde{A} & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tilde{B} & * \\ * & *\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tilde{C} & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tilde{D} & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix},$$ donde $\tilde{A}$, $\tilde{B}$ y $\tilde{C}$ son positivas semidefinite matrices de tamaño $n-1$ $\tilde{D}=\tilde{A}\tilde{B}\tilde{C}$ es Hermitian. A continuación, $\tilde{D}$ es positivo semidefinite por inducción, por lo $D$ también es positiva semidefinte. $\qquad\square$
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