¿Cómo me acerco la siguiente integral?

Question

Evaluar

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+1}~dx$$

Answer 1

Utilizar el teorema del residuo.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\Re\int_C\frac{e^{iz}}{z^2+1}dz=\Re 2\pi iRes|_{z=i}=\Re 2\pi i\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{e}.$$

Answer 2

Que $\displaystyle f(t) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (tx)}{1+x^{2}} \ dx$.

Entonces $\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (tx)}{1+x^{2}} \ e^{-st} \ dx \ dt$

$ \displaystyle= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \ \cos(xt) e^{-st} dt \ dx$ (ya que la integral iterada converge absolutamente)

$ \displaystyle = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \frac{s}{s^{2}+x^{2}}\ dx = \frac{s}{1-s^{2}} \int_{0}^{\infty} \Big(\frac{1}{s^{2}+x^{2}} - \frac{1}{1+x^{2}} \Big) \ dx $

$ \displaystyle = \frac{s}{1-s^{2}} \Big(\frac{\pi}{2s} - \frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\pi}{2(1+s)} $

Así $f(t) = \mathcal{L}^{-1} [\mathcal{L} \ f(t) ] = \mathcal{L}^{-1} \Big(\frac{\pi}{2(1+s)} \Big) $

$ \displaystyle= \frac{\pi}{2} \mathcal{L}^{-1} \Big(\frac{1}{1+s} \Big) = \frac{\pi}{2}e^{-t}$

Y $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \ dx = 2 \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \ dx = 2f(1) = \frac{\pi}{e}$

Answer 3

Sugerencias:

$$C_R:=[-R,R]\cup \Gamma_R:=\{z\in\Bbb C\;;\;z=Re^{it}\,,\;0\le t\le \pi\,\,,\,\,R>0\}$$

$$\left|\;\int\limits_{\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+1}dz\;\right|\le \sup_{z\in\Gamma_R}\frac{e^{-R\sin t}}{R^2-1}R\pi\xrightarrow[R\to\infty]{}0\;,\;\;\text{since}\;\;R\sin t>0$$

$$\int\limits_{-R}^R\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx\xrightarrow[R\to\infty]{}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\cos t+i\sin t}{x^2+1}dx$$

$$\oint\limits_{C_R}f(z):=\frac{e^{iz}}{z^2+1}\,dz=2\pi iRes_{z=i}(f)=2\pi i\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{e}$$

Ahora reunido lo anterior, utilizar el teorema del residuo y cosas de Cauchy.

Answer 4

Puesto que ya se ha tomado la ruta más simple, voy a tomar otro. La función $x\mapsto e^{-|x|}$ es integrable en $\mathbb{R}$, y su transformada de Fourier se calcula fácilmente como $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-itx}\,dx& = \int_0^\infty e^{-x(1+it)}\,dx + \int_{-\infty}^0 e^{x(1-it)}\,dx \\ & = \frac{1}{1+it} + \frac{1}{1-it} \\ & = \frac{2}{1+t^2} \end {Alinee el} $$ este Fourier transforma es integrable. Así que por la transformada de Fourier inversión fórmula, $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{2}{1+t^2}e^{ixt}\,dt = 2\pi e ^ {-| x |}. $$ $x = 1$ De tomar y dividir ambos lados por $2$.

Answer 5

Bueno eso integral tiene polos en $z=i, -i$. Puede integrar a lo largo de un semicírculo de radio $R>i$, utilizar la fórmula de residuo de Cauchy y que $R \rightarrow \infty$ y espero que la integral a lo largo del arco va a $0$.