¿Puede ser incontables los números naturales?

Question

Definición de una contables conjunto, de Stanford, ya que no quiero citar a Wikipedia:

Definición. Un conjunto S es contable si |S| = |N|.

Por lo tanto un conjunto S es contable si hay un uno-a-uno la asignación de Num en S, es decir, si S es el rango de un infinito uno-a-uno de la secuencia.

Así que parece que si se puede definir un conjunto de números que no mapa de uno-a-uno con los números naturales, entonces no es un contable establecido. Los números naturales, obviamente, mapa de uno a uno con los números naturales, por lo que pueden ser innumerables?

Supongamos que tenemos una lista que contiene todos los números naturales. Extracto:

...
000099
000100
000101
000102
...

Podemos definir un número que es diferente de cada elemento en esta lista como sigue: para el ith número en la lista, el ith dígito es uno de los 8 (o 9) distinto de cero alternativas que hacen que nuestro nuevo número diferente de el número de la lista. Por ejemplo:

...
00009 9
0001 0 0
000 1 01
00 0 102
...

12 3456

Como seguimos, vamos a terminar con una secuencia de cero dígitos, que forma válida de número Natural, que no está en nuestra lista de todos los números naturales, por lo que nuestra asignación de los números naturales a los números naturales se rompe.

¿Tienen sentido, o es que hay algo que me falta?

Answer 1

Su error está en la afirmación:

... vamos a terminar con una secuencia de cero dígitos, que constituye un válido número Natural...

Números naturales tiene sólo un número finito de dígitos distintos de cero en su expansión decimal. Esto puede ser demostrado por inducción: es cierto de $1$; y el número de dígitos distintos de cero en la expansión decimal de $n+1$ es en la mayoría de los uno más que el de $n$ (se necesitan más de un dígito más antes de iniciar el relleno de con $0$s de la izquierda).

Una lista infinita que contiene un número infinito de dígitos distintos de cero no produce un número natural. De hecho, se puede demostrar que el procedimiento va a producir una secuencia de dígitos con un número infinito de dígitos distintos de cero, por lo tanto no corresponden a un número natural.

Digamos que su procedimiento se selecciona $0$ siempre que sea posible (esto es, siempre que el $i$th dígitos, de derecha a izquierda, de la $i$th número natural, es distinto de cero; que realmente quiero esto, porque si usted insiste, como en su post, que siempre seleccione un dígito distinto de cero, entonces la garantía de lo que se recibe no es un número natural). Puede que la lista debe organizarse de tal manera que el $i$th dígitos de la $i$th número es distinto de cero para todos los $i\gt N$ algunos $N$? No: para cualquier $N$, $10^{N-1}$ números naturales, que requieren menos de $N$ dígitos para escribir, ya que no sólo se $N$ posiciones antes de $N$, al menos uno de estos $10^{N-1}$ números deben ser mencionados en una posición por debajo de $N$; pero si aparece en la posición $j\gt N$, entonces su $j$th dígitos se $0$, por lo que la construcción de la secuencia necesariamente va a tener un valor distinto de cero de la entrada en $j\gt N$. Ya que este tiene para todos los $N$, la lista obtenida es nunca eventualmente $0$, y por lo tanto no corresponden a un número natural.

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Ahora, si usted quiere ampliar su noción de números para incluir expresiones con un número infinito de dígitos distintos de cero, entonces su argumento es correcto: el conjunto de todos estos "números" no es contable. Sin embargo, esos no son los números naturales.