¿Cuántas soluciones existen para la desigualdad $x_1 + x_2 + x_3 ≤ 11$, donde $x_1, x_2$ y $x_3$ son números enteros no negativos? [Sugerencia: introducir un % variable auxiliar $x_4$tal que $x_1 + x_2 + x_3$ + $x_4$ = 11.]
Mi razonamiento es correcto si te dejo $x_4 = x_1 + x_2 + x_3, x_4 = 11$
¿Procedió como normalmente con $14\choose11$? Estoy un poco inseguro de cómo la variable auxiliar llega a jugar.
La "fuerza bruta" enfoque está dado en ashleyde la respuesta: recuento de las soluciones a $$ x_1+x_2+x_3=11-x_4\etiqueta{1} $$ para $x_4\in\{0,1,2,\dots,11\}$; es decir, $$ \sum_{x_4=0}^{11}\binom{13-x_4}{2}\etiqueta{2} $$ $(2)$ cuenta todas las soluciones para $$ x_1+x_2+x_3\le11\etiqueta{3} $$ Otra manera de mirar en $(1)$ es para contar las soluciones a $$ x_1+x_2+x_3+x_4=11\etiqueta{4} $$ que es $$ \binom{14}{3}\etiqueta{5} $$ $(4)$ dice que el papel de la $x_4$ es la enumeración de las ecuaciones en $(1)$.
Esto le da una combinatoria prueba de que $(2)$ $(5)$ son iguales.
Si utiliza un "cerilla" enfoque - el uso de 11 x y 3 |'s, contar el número de x a la izquierda de cada tubo para determinar $x_1$, $x_2$, y $x_3$:
|||xxxxxxxxxxx => 0 + 0 + 0
xxx|||xxxxxxxx => 3 + 0 + 0
x|x|x|xxxxxxxx => 1 + 1 + 1
xxxxxxxxxxx||| => 11 + 0 + 0
En los ejemplos anteriores, el número de x que no se utilizan en la ecuación es lo $x_4$ es igual. Así, en el primer ejemplo, $x_4 = 11$. En el segundo ejemplo,$x_4 = 8$. Básicamente, se utiliza la tubería de símbolos para la partición de la x en 4 compartimentos, el tamaño de cada compartimiento debe ser igual a $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$.
Una cosa a tener en cuenta, el número de maneras de organizar el 3 |'s y 11 x debe ser una fórmula que es familiar para usted.
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