Límite de $\frac1{c^n}\iint_{[0,c]^n}\frac{f(x_1) +f(x_2) +\cdots+f(x_n)}{g(x_1) +g(x_2) +\cdots+g(x_n)}\,dx_1dx_2\cdots dx_n$ cuando $n\to\infty$

Question

A. ¿Cómo pruebo la siguiente secuencia converge como $n$ va al $\infty$ para cualquier $c$, y ¿cómo sé el límite?

$$ \begin{align} a_1 &=\frac{1}{c} \int _0^c\frac{x_1 }{1+x_1}\;dx_1 \\ \\ a_2 & =\frac{1}{c^2 } \int _0^c\int _0^c\frac{x_1 +x_2 }{2+x_1 +x_2 }\;dx_2\;dx_1 \\ \\ a_3 & =\frac{1}{c^3 } \int _0^c\int _0^c\int _0^c\frac{x_1 +x_2 +x_3 }{3+x_1 +x_2 +x_3 } \;dx_3\;dx_2\;dx_1 \end {Alinee el} $$

y así sucesivamente para la $a_n$ $\dots$

B. del mismo modo, con esto, donde $f$ y $g$ no son polinomios [verificado la convergencia numérica]:

$$ \begin{align} a_1 &=\frac{1}{c} \int _0^c\frac{f(x_1) }{g(x_1)}\;dx_1 \\ \\ a_2 & =\frac{1}{c^2 } \int _0^c\int _0^c\frac{f(x_1) +f(x_2) }{g(x_1) +g(x_2) }\;dx_2\;dx_1 \\ \\ a_3 & =\frac{1}{c^3 } \int _0^c\int _0^c\int _0^c\frac{f(x_1) +f(x_2) +f(x_3) }{g(x_1) +g(x_2) +g(x_3) } \;dx_3\;dx_2\;dx_1 \end {Alinee el} $$

y así sucesivamente para la $a_n$ $\dots$ (tal vez necesito incluir la muy larga definición de $f$ y $g$...?)

Answer 1

Deje $S_n$ denotar la suma de $n$ i.yo.d. variables aleatorias uniformemente distribuidas en $(0,c)$. A continuación,$a_n=\mathrm E\left(\dfrac{S_n}{n+S_n}\right)$. Por la fuerte ley de los grandes números, $\dfrac{S_n}n\to\dfrac{c}2$ casi seguramente, de ahí $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\dfrac{c/2}{1+c/2}=\dfrac{c}{2+c}.$$

Editar En el caso B (se agregó posteriormente a la pregunta) debe considerar las sumas $S_n$ $T_n$ $n$ variables aleatorias $f(X_i)$$g(X_i)$, para algunos que yo.yo.d. variables aleatorias $(X_n)_{n\geqslant1}$ distribuidos de manera uniforme en $(0,c)$. A continuación, $a_n=\mathrm E(R_n)$ $R_n=S_n/T_n$ y, por el fuerte de la ley de los grandes números, $S_n/n\to\mathrm E(f(X_1))$ $T_n/n\to\mathrm E(g(X_1))$ por lo tanto $R_n\to\mathrm E(f(X_1))/\mathrm E(g(X_1))$ casi seguramente.

Si, por ejemplo, $g\gt0$ casi en todas partes $(0,c)$, $R_n$ está bien definido. Si, por ejemplo, $|f|\leqslant Ag$ en casi todas partes, para algunos finito $A$, $(R_n)_{n\geqslant1}$ es uniformemente integrable por lo tanto $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm E(R_n)=\mathrm E(\lim\limits_{n\to\infty} R_n)=\dfrac{\mathrm E(f(X_1))}{\mathrm E(g(X_1))}=\dfrac{\displaystyle\int_0^cf(x)\mathrm dx}{\displaystyle\int_0^cg(x)\mathrm dx}.$$