Diferencia entre módulos libres y generados finitamente

Question

No estoy seguro de entender la diferencia entre módulos libres y módulos generados finitamente. Sé que un módulo libre es un módulo con una base, y que un módulo finitamente generado tiene un conjunto finito de elementos generadores (es decir, cualquier elemento del anillo puede expresarse como una combinación lineal de esos generadores).

Pero entonces, ¿la diferencia es sólo que los generadores no son linealmente independientes?

En ese caso, ¿por qué especificamos a veces "módulo libre finitamente generado"? Porque seguramente si lo anterior es correcto (que no creo que lo sea), libre implicaría finitamente generado por lo que no hay necesidad de especificar finitamente generado...

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Estos son ejemplos muy sencillos:

$$ \text{As an } \mathbb Z \text{-module, } \mathbb Z/2\mathbb Z \text{ is finitely generated but not freely generated.}$$

$$ \text{As an } \mathbb Z \text{-module, } \bigoplus_{\mathbb N} \mathbb Z \text{ is freely generated but not finitely generated.}$$

Answer 2

Un $R$ -Módulo $M$ se llama:

• gratis , si $M\cong R^n=\bigoplus_{i=1}^{n}R$ . $n$ se llama el rango de $M$ (posiblemente infinito), denotado $\text{rank}(M)$ y también puede ser infinito. En otras palabras, el mapa $$\phi:R^n\rightarrow M\tag{1}$$ es un $R$ -módulo isomorfismo.

• generado finitamente , si $M$ tiene un conjunto generador finito. En otras palabras, el mapa $(1)$ sólo es sobreyectiva. Esto significa que, por el primer teorema de isomorfismo que $M\cong R^n/\ker(\phi)$ .

La diferencia se reduce a si $\ker(\phi)=0$ o no (y si $n$ es finito o no), y a partir de esto es fácil construir algunos ejemplos.

Ejemplos :

• $k[x,y]/(x^2,xy,y^2)\cong k^3$ está generada finitamente y es libre como $k$ -módulo.
• $k[x,y]\cong \bigoplus_{i\in\mathbb{Z}}k$ es una libre, pero no finitamente generada $k$ -módulo.

Answer 3

La base de un módulo libre no tiene por qué ser finita, por lo que libre no implica generado finitamente. Es cierto que para un módulo general finitamente generado puede haber relaciones entre los generadores, es decir, dos combinaciones lineales diferentes de generadores (con coeficientes en el anillo base) pueden representar el mismo elemento del módulo.

Answer 4

En primer lugar, la lengua inglesa

Decimos que existe una base si el módulo está finitamente generado, es decir, existe un conjunto finito que abarca nuestro módulo. No existe una "base infinita" o "un rango infinito".

Además, decimos "un módulo libre" si la estructura con la que trabajamos es isomorfa a un módulo libre. No decimos "un módulo generado libremente".

Podemos discutir, pero permítanme decirlo para esta respuesta concreta.

En segundo lugar, las definiciones

La diferencia básica entre un módulo libre y un módulo generado finitamente es ésta.

$$\underbrace{apples \cdot \begin{pmatrix}apples \\ apples \\ apples \\ apples \end{pmatrix}}_{\text{a free module's element}} \quad \underbrace{apples \cdot \begin{pmatrix}apples \\ lemons \\ pears \\ bananas \end{pmatrix}}_{\text{a finitely generated module's element}} $$

Aquí, las tuplas ordenadas y los escalares de un módulo libre provienen todos del mismo anillo $R$ . Esto podría no ser cierto para un módulo generado finitamente en general.

De nuevo, una estructura de módulo supone que hay elementos que tienen la estructura de tuplas (=un conjunto ordenado) junto con escalares que pueden multiplicar los elementos del módulo.

En tercer lugar, la base

Un módulo gratuito tiene la base estándar. Supongamos que tenemos algún módulo $R^n$ . Este módulo está atravesado por la base estándar $(e_1, \dots , e_n)$ . Recordemos que un módulo libre está compuesto por elementos de un único anillo. Un anillo está definido para tener siempre una identidad multiplicativa, por lo que $e_n$ de la base estándar significa que tenemos el elemento 1 en la posición $n$ . Las leyes de composición, es decir, la multiplicación por un escalar está definida de tal manera que podemos elegir un escalar apropiado para abarcar todo el módulo con la base estándar.

$$ r \begin{pmatrix}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ra_1\\ \vdots \\ ra_n \end{pmatrix} $$

Ahora, volvamos a las verduras. La tupla de la derecha está compuesta por diferentes frutas (manzanas, limones, peras y plátanos), analogía al hecho de que los elementos hacen no provienen del mismo anillo.

Aun así, dicho módulo está finitamente generado, ya que cada anillo tiene una identidad multiplicativa. Observamos la existencia del anillo cero 1=0, pero no tenemos que abarcarlo.

El conjunto finito que puede servir de base es éste. El módulo está generado finitamente, pero no es libre.

$${ \begin{pmatrix}\text{1 apple}\\0\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\text{1 lemon}\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\\text{1 pear}\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \text{1 banana}\end{pmatrix} } $$

Por último, las propiedades del anillo

Podríamos hacer una construcción de un módulo donde las tuplas no tengan una longitud finita. Pero no es necesario. Mucho más interesante es lo que ocurre en el anillo cuando componemos elementos del mismo.

Ahora suponemos que tratamos sólo con un módulo libre.

A diferencia de un campo En el caso de los anillos, un anillo no tiene por qué tener la propiedad de cancelación. Por lo tanto, el conjunto de relaciones no tiene por qué ser finito, es decir, finitamente generado.

Supongamos que tenemos un módulo libre $R^n$ y tratamos de calcular esto y obtenemos el elemento cero.

$$r' \begin{pmatrix}r'_1 \\ \vdots \\r'_n \end{pmatrix} + r'' \begin{pmatrix}r''_1 \\ \vdots \\r''_n \end{pmatrix} = 0 $$

Amplíe la composición a lo largo de la fila superior.

$$r'r'_1+r''r''_1=0$$

Para un campo, dado $ab=0$ debemos tener $a=0$ o $b=0$ o ambos. Pero esto no se aplica a los anillos. Así que el módulo de relaciones no necesita ser generada finitamente en el caso general.

Esto es genial, ya que un módulo libre tiene la base estándar, pero el número de formas en que podemos componer este módulo para obtener el elemento cero del módulo podría ser infinito, dependiendo de las propiedades de los anillos.