Demostrando que la métrica hermítica produce estructura hermítica compleja múltiple

Question

Deje $g$ ser una métrica de Riemann en casi un complejo colector de $(M,J)$. Supongamos $g$ es Hermitian en el sentido de que

$$g(JX,JY) = g(X,Y)$$

Deje $\Omega$ ser los asociados fundamentales (Kahler) formulario

$$\Omega(X,Y) = g(JX,Y)$$

Podemos extender $g$ $\Omega$ complejo linealmente a ser definido en $TM^{\mathbb{C}}$.

Yo lo he visto escrito de que la siguiente se define una Hermitian estructura en $M$

$$h(X,Y) = g(X,Y) - i\Omega(X,Y)$$

Mi pregunta es ¿por qué?! Estoy asumiendo que este se define en $TM^\mathbb{C}$: ¿estoy en lo correcto? ¿Cómo se relacionan con el "estándar" Hermitian estructura en la holomorphic bundle $TM^+$ dada por

$$h^+(X,Y) = g(X,\overline{Y})\textrm{?}$$

Intento de argumento

Queremos mostrar a $\overline{h(X,Y)}=h(Y,X)$. Es fácil demostrar $\overline{g(X,Y)}=g(\overline{X},\overline{Y})$. Escribimos

$$\overline{h(X,Y)} = g(\overline{X},\overline{Y}) + ig(\overline{JX},\overline{Y})$$

Vamos a tratar de los casos. Si $X$ $Y$ están en $TM^+$ o $TM^-$ uno puede mostrar fácilmente

$$g(X,Y) = g(\overline{X},\overline{Y})=0$$

Nota : por lo tanto, esta es muy diferente de la "norma" Hermitian estructura.

Por simetría sólo necesitamos intente $X\in TM^+, Y\in TM^-$. Entonces

$$\overline{h(X,Y)} = 2g(\overline{X},\overline{Y})$$

$$h(Y,X) = 2g(X,Y)$$

Pero estos no son iguales necesariamente! ¿En qué diablos estoy haciendo mal aquí? Debe ser muy sencillo, pero solo estoy dando vueltas en círculos. Si alguien podría señalar el tonto error que estoy haciendo yo estaría muy agradecido!

Answer 1

Suponga $(M,J)$ es casi un complejo colector de la dimensión real de $2n$: por ejemplo, un complejo colector de la compleja dimensión de $n$.
Dado un $J$-invariantes de riemann estructura $g$$(M,J)$, que se derivan de la misma:
a) A $J$-invariante hermitian estructura $h$ definido por $h(X,Y)=g(X,Y)-ig(JX,Y)$$T(M)$.
Aquí T(M) es visto, por el uso de $J$, como un vector complejo paquete de clasificación complejas $n$.
Hermitianity significa que usted tiene, entre otras condiciones, $h(X,JY)=-ih(X,Y)$ .
b) Un alternando $\mathbb C$-bilineal $2$forma $\omega (X,Y)\stackrel {def}{=}g(JX,Y)$ $T(M)$
Aquí $\mathbb C$-bilineal significa que usted tiene, entre otras condiciones, $\omega(X,JY)=i\omega(X,Y)$

Estas estructuras están relacionadas por la obvia la ecuación de $h(X,Y)=g(X,Y)-i\omega (X,Y)$ .
Todo lo que sucede en $T(M)$ siempre con su compleja $J$-estructura y no hay necesidad de complejizar el vector paquete de $T(M)$.