Ok, finalmente entendí -- la confusión básicamente surge de algo no estándar de notación. En primer lugar, sin embargo, permítanme revisar algunos hechos importantes acerca de las formas diferenciales (sobre todo a raíz de la discusión en la Wikipedia). La aplicación de una 2-forma a un par de vectores es a menudo escrita como
$$ \alpha \wedge \beta(u,v) = \alpha(u)\beta(v) - \alpha(v)\beta(u). $$
Formas diferenciales son a menudo introducidos en el escalar de configuración (por ejemplo, $\alpha$ $\beta$ $\mathbb{R}$valores) y por lo que esta expresión tiene sentido: $\alpha(u)$ $\beta(v)$ son de tanto valor real, por lo que simplemente puede multiplicar para obtener otro número real.
De manera más general, sin embargo, supongamos que $\alpha$ $\beta$ tomar valores en algún espacio vectorial $E$. A continuación, puede ya no ser natural o de manera obvia a "multiplicar" los vectores, y así en general, lo mejor que podemos hacer es escribir algo como
$$ \alpha \wedge \beta(u,v) = \alpha(u) \otimes \beta(v) - \alpha(v) \otimes \beta(u), $$
donde $\otimes$ denota el exterior o producto tensor (que se define para cualquier espacio vectorial $E$). Nota, entonces, que el producto exterior de dos $E$valores de las formas no es $E$-valorado, pero en realidad $E \otimes E$ valorado!
Lógicamente, sin embargo, un elemento de $E \otimes E$ puede ser pensado como un par de elementos de a $E$. Así que si le sucede que tiene algunos productos binarios $\cdot: E \times E \rightarrow E$, entonces podemos adoptar la convención de que cualquier $(E \otimes E)$con valores de 2-forma "automática" se asigna a la $E$con valores de 2-formulario de
$$ \alpha \wedge \beta(u,v) = \alpha(u) \cdot \beta(v) - \alpha(v) \cdot \beta(u). $$
En el caso de que el vector de área, la mayoría (¿único?) natural de productos binarios en $\mathbb{R}^3$ está dado por el producto cruzado, ya que lleva un par de 3-vectores a un 3-vector. Sin embargo (y aquí está la confusión), notación estándar en este caso sería
$$\alpha \wedge \beta(u,v) = \alpha(u) \times \beta(v) - \alpha(v) \times \beta(u),$$
y no
$$\alpha \times \beta(u,v) = \alpha(u) \times \beta(v) - \alpha(v) \times \beta(u).$$
(Personalmente prefiero seguir con el $\wedge$ notación, porque es la única cosa que le da al lector una idea de que antisymmetrization se produce.)
Así que, con todo lo que pedante basura de la forma, podemos escribir una realmente pedante prueba de la declaración de la pregunta:
Considerar el álgebra bundle $E = (\mathbb{R}^3, \times)$ más de un disco, como la región de $M \subset \mathbb{R}^2$ y deje $f$ $E$con valores de 0-forma de representación de un suave inmersión; deje $N$ ser la unidad de campo normal en $M$ inducida por $f$ (también visto como una $E$con valores de 0-forma). Por último, vamos a $dA$ ser el estándar de la forma de volumen en $M$. Tomando nota de que
$$df \wedge df(u,v) = df(u) \times df(v) - df(v) \times df(u) = 2 df(u) \times df(v) = 2 N dA(u,v)$$
para todos los pares de vectores $u,v \in \mathbb{R}^2$ (desde el producto cruzado de dos tangentes a los puntos en la dirección normal!), tenemos
$$ \int_M N dA = \frac{1}{2} \int_M df \wedge df = \frac{1}{2} \int_M d(f \wedge df) = \frac{1}{2} \int_{\partial M} f \wedge df,$$
como se desee (hasta un cambio en la notación).
