Sé que hay tres raíces reales para el cúbico, pero la fórmula cúbica me da una respuesta no real. ¿Qué estoy haciendo mal?

Question

Quiero resolver la ecuación $x^3-x=0$ utilizando esta ecuación cúbica . Para que haya raíces reales para el cúbico (sé que las raíces son $x=-1$ , $x=0$ , $x=1$ ), supongo que debe haber un positivo dentro de la raíz cuadrada interior. (¿O es un error?)

Sin embargo, cuando sustituyo en $a=1$ , $b=0$ , $c=-1$ , $d=0$ El raíz cuadrada término dentro del raíz cúbica términos se convierte en

$$\sqrt{\;\left(\;2(0)^3 - 9(1)(0)(-1) + 27(1)^2(0)\;\right)^2 - 4 \left(\;(0)^2 - 3(1)(-1)\;\right)^3\quad}$$

Me da $\sqrt{-108}$ que es $10.39i$ . Ahora que tengo un número no real como parte de la ecuación no puedo ver ninguna forma de que se anule o se elimine, aunque sé que hay una respuesta real.

¿Podría alguien decirme cómo puedo obtener una respuesta real y qué estoy haciendo mal? Gracias.

Answer 1

No he comprobado tus cálculos, pero parece que te has metido en el punto que en realidad hizo que la gente se fijara en los números complejos. Los números complejos no se "inventaron" para resolver ecuaciones cuadráticas, como suelen decir algunos, sino para resolver ecuaciones cúbicas. La gente descubrió una fórmula para las raíces de un polinomio cúbico, pero luego descubrió que en algunas situaciones (en realidad, en muchas), las ecuaciones pasaban necesariamente por los números complejos. En realidad, incluso en situaciones en las que todo las raíces son reales esto sucede.

Si haces los cálculos correctamente, los números complejos se cancelarán al final.

Answer 2

Bien, entonces estás consiguiendo que los operandos de las partes de la raíz cúbica de la fórmula se vean así: $$p + q i \qquad\text{and}\qquad p - q i$$ con algunos molestos valores no nulos $q$ (A saber, $\sqrt{108}$ ). Pues bien, estos valores son conjugados para que sus respectivas raíces cúbicas (principales) sean también conjugadas. Para la $x_1$ en su fórmula, estas raíces cúbicas conjugadas se suman, y sus partes imaginarias convenientemente cancelar . El mismo tipo de cancelación ocurre para el $x_2$ y $x_3$ también, porque los factores $\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})$ y $\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})$ son a su vez conjugados. Cuando el polvo se asiente, tendrás las tres raíces reales que esperas.

Como señala @Aloizio, así es como históricamente se colaron los números imaginarios en las matemáticas: como desvíos temporales en el camino hacia las soluciones reales de las ecuaciones cúbicas. Estos números parecían extraños, tal vez incluso aterradores, pero al final se anulaban, así que no había problema. Luego la gente empezó a preguntarse por un mundo en el que estos números no siempre se cancelaban...