Infoconvolución, ¿dos preguntas básicas?

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio vectorial normado. Dadas dos funciones $\varphi$ , $\psi : E \to (-\infty, +\infty]$ se define la infoconvolución de $\varphi$ y $\psi$ de la siguiente manera: para cada $x \in E$ , dejemos que $$(\varphi \Box \psi)(x) = \inf_{x \in E} \{\varphi(x - y) + \psi(y)\}.$$ Tengo dos preguntas.

1. Dejemos que $\varphi$ , $\psi: E \to (-\infty, +\infty]$ sean funciones tales que $D(\varphi^*) \cap D(\psi^*) \neq \emptyset$ . ¿Cómo puedo ver que $$\text{epist}(\varphi \Box \psi) = (\text{epist}\,\varphi) + (\text{epist}\,\psi)?$$
2. Si $\varphi$ , $\psi: E \to (-\infty, +\infty]$ son funciones convexas tales que $D(\varphi^*) \cap D(\psi^*) \neq \emptyset$ ¿se deduce que $(\varphi \Box \psi)$ es una función convexa?

Notación. Denotamos por $D(\varphi)$ el dominio de $\varphi$ Es decir, $$D(\varphi) = \{x \in E: \varphi(x) < +\infty\}.$$ Dada una función $\varphi: E \to (-\infty, +\infty]$ , set $$\text{epist}\,\varphi = \{(x, \lambda) \in E \times \mathbb{R}: \varphi(x) < \lambda\}.$$

Answer 1

(i) La epigrafía (estricta) de la infoconvolución de dos funciones es la suma de Minkowski de las epigrafías (estrictas) de dichas funciones. Si sus funciones son propiamente convexas l.s.c, (de modo que $\varphi^{**} = \varphi$ etc.) entonces su conclusión se desprende del Teorema 1 (ii) de este bonito papel .

En caso de que el enlace anterior para el documento de referencia no funcione (tal vez no sea accesible desde su ubicación, etc.), aquí está la información del documento:

Convolución infima, sub-diferenciabilidad c, y la dualidad de Fenchel en la optimización uniformemente convexa , M.D. Fajardo - J. Vicente-Pérez - M.M.L. Rodríguez

Recibido: 7 de octubre de 2010 / Aceptado: 16 de junio de 2011 © Sociedad de Estadística e Investigación Operativa 2011

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Actualización: sobre la convexidad de inf-conv de funciones convexas

(ii) Sí, si $\varphi$ y $\psi$ son convexos, entonces también lo son $\varphi \Box \psi$ (¡sin ninguna otra condición!).

Prueba. Demostremos algo un poco más general (de este libro autorizado por HHB y PLC):

Si $X$ y $Y$ son espacios de Hilbert reales y $F : X \times Y \rightarrow (-\infty,+\infty]$ es convexa, entonces también lo es la función marginal $f : X \rightarrow (-\infty,+\infty], x \mapsto \inf_{y \in Y}F(x, y)$ .

De hecho, toma $x_1,x_2 \in \text{dom }f$ y $\alpha \in (0, 1)$ . Además, dejemos que $\eta_k \in (f(x_k), +\infty]$ . Entonces existe $y_1, y_2 \in Y$ tal que $F(x_1, y_1) < \theta_1$ y $F(x_2, y_2) < \theta_2$ . Ahora, utilizando la convexidad de $F$ tenemos $$ \begin{split} f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) &\le F(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2, \alpha y_1 + (1-\alpha)y_2) \\ &\le \alpha F(x_1, y_1) + (1-\alpha)F(x_2, y_2) < \alpha \theta_1 + (1-\alpha)\theta_2. \end{split} $$ Así, $f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) < \alpha \theta_1 + (1-\alpha) \theta_2$ y en el límite $\theta_k \, \searrow \, f(x_k)$ (es decir, tomando el supremum del lado derecho con respecto al $\theta$ '), obtenemos la convexidad de $f$ .

Para su caso particular, simplemente tome $F(x, y) :\equiv \varphi(y-x) + \psi(x)$ una suma de dos funciones convexas. Concluya.