Valor Esperado de una Variable Aleatoria Continua

Question

He estado revisando mi libro de probabilidad y estadística y acabo de llegar a las distribuciones continuas. El libro define el valor esperado de una variable aleatoria continua como:

$E[H(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} H(x)f(x)~dx$

siempre que

$\int_{-\infty}^{\infty} |H(x)|f(x)~dx$

sea finito.

Aunque entiendo la integral para calcular el valor esperado, no logro ver por qué en la 'condición' se toma el valor absoluto de $H(X)$. ¿Por qué no es suficiente con definirlo como:

$E[H(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} H(x)f(x)~dx$

siempre que sea finito.

Answer 1

Dado que la función de densidad $f(x)$ es no negativa, la fórmula integral para la esperanza es realmente la diferencia de dos integrales con integrandos no negativos (y por lo tanto, valor no negativo): $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm dx = \int_0^{\infty} xf(x)\mathrm dx - \int_{-\infty}^0 \vert x\vert f(x)\mathrm dx. $$ Cuando ambas integrales son finitas, su diferencia también es finita. Si una de las integrales diverge pero la otra es finita, entonces algunas personas dicen que $E[X]$ existe pero es ilimitado mientras que otros niegan la existencia de $E[X]$ y dicen que $E[X]$ es indefinido. (Quizás esto es por qué muchos teoremas en probabilidad evitan la ambigüedad restringiéndose a variables aleatorias con medias finitas en lugar de variables aleatorias cuyas medias existen). Si ambas integrales divergen, entonces la fórmula integral para $E[X]$ da un resultado de la forma $\infty - \infty$ y todos están de acuerdo en que $E[X]$ es indefinido.

En resumen, si $\int \vert x \vert f(x) dx$ es finito, entonces $\int x f(x) dx$ también es finito, y el valor de la última integral se llama la esperanza o valor esperado o media de la variable aleatoria $X$ y se denota como $E[X]$, es decir, $$E[X] = \int_{\infty}^{\infty} x f(x) dx.$$

Nota adicional: A mi parecer, la diferencia entre decir que "$E[X] = \int xf(x) dx$ si la integral es finita" (como quiere Sami) y "$E[X] = \int xf(x) dx$ si $\int |x|f(x)\mathrm dx$ es finito" es que la segunda afirmación le recuerda al lector casual que verifique algo en lugar de llegar a conclusiones infundadas. Muchos estudiantes han calculado erróneamente que una variable aleatoria de Cauchy con densidad $[\pi(1+x^2)]^{-1}$ tiene un valor esperado de $0$ por el motivo de que el integrando $x\cdot[\pi(1+x^2)]^{-1}$ en la integral para $E[X]$ es una función impar, y la integral es sobre el intervalo simétrico respecto al origen. Pero habrían descubierto su error si hubieran verificado cuidadosamente si $$\int_{-\infty}^{\infty} \vert x \vert \frac{1}{\pi(1+x^2)} dx = 2 \int_0^{\infty} x\frac{1}{\pi(1+x^2)} dx $$ es finita.