Perdona por esta pregunta tan básica, pero no estoy seguro de algo. Quiero ver un ejemplo. La definición de un n-manifold es un espacio Hausdorff, tal que cada punto tiene una vecindad abierta homeomorfa al disco abierto de n dimensiones. ¿Cómo puedo demostrar que $$ S^n = \left\{ {x \in \mathbf{R}^{n + 1} :\left| x \right| = 1} \right\} $$ es un n-manifold
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cjstehno
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$S^n$ es un espacio de Hausdorff porque es un subespacio de un espacio de Hausdorff ( $\mathbb{R}^{n+1}$ ).
Como para una vecindad abierta para cada punto homeomorfo a algún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ (no es necesario que este subconjunto abierto sea el abierto $n$ -pero, en este caso, se obtiene naturalmente un disco), se puede suponer que el punto es el polo norte $(0,\dots, 0, 1) \in S^n$ . (¿Por qué? -Bueno... Piénsalo. :-) ). Entonces, por ejemplo, considere el hemisferio norte abierto:
$$ S^n_+ = \left\{ (x_1, \dots , x_n , x_{n+1}) \in S^n \ \ \vert \ \ x_{n+1}> 0 \right\} $$
con la proyección natural sobre el $x_{n+1} = 0$ hiperplano de $\mathbb{R}^{n+1}$ que resulta ser homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ :
$$ p: S^n_+ \longrightarrow \mathbb{R}^n \ , \qquad p(x_1,\dots , x_n, x_{n+1} )= (x_1, \dots , x_n) $$
Ejercicios:
- ¿Por qué es $S^n_+$ una vecindad abierta del polo norte dentro de la esfera $S^n$ ?
- ¿Quién es la imagen de $p$ ?
- Encuentre una inversa para $p$ de su imagen a $S^n_+$ .
Una pista. Como te sugiere lhf, prueba primero con $n=1, 2$ . Haz algunos dibujos.
Como alternativa, se puede utilizar la forma local de una inmersión para demostrar que $S^n$ es un submanifold de $\mathbb{R}^{n+1}$
http://en.wikipedia.org/wiki/Submersion_%28mathematics%29
$f:\mathbb{R}^{n+1}\rightarrow\mathbb{R}$ , $f(x_1,...,x_{n+1})=x_1^2+...+x_{n+1}^2$ es un $C^\infty$ -sumersión en $S^n=f^{-1}(1)$ .
Otro buen método es utilizar proyecciones estereográficas
http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
$S^n=U_N\cup U_S$ donde $U_N=S^n\setminus\{(0,...,0,1)\}$ y $U_S=S^n\setminus\{(0,...,0,-1)\}$ se abren para la topología inducida de $\mathbb{R}^{n+1}$ en $S^n$ .
Se puede comprobar que : $\varphi_N : U_N\rightarrow\mathbb{R}^n$ , $\varphi_N(x_1,...,x_{n+1})=\big(\dfrac{x_1}{1-x_{n+1}},...,\dfrac{x_n}{1-x_{n+1}}\big)$ y $\varphi_S : U_S\rightarrow\mathbb{R}^n$ , $\varphi_S(x_1,...,x_{n+1})=\big(\dfrac{x_1}{1+x_{n+1}},...,\dfrac{x_n}{1+x_{n+1}}\big)$ son homomorfismos.
