Prueba $\operatorname{Spec} k[x]$ internamente es un anillo de fracciones en el lenguaje interno de lo topos de Zariski

Question

Deje $\mathcal E$ ser un topos de Grothendieck y $R$ ser un anillo objeto en ella. Decir $R$ es internamente un anillo de fracciones si $\neg (a=0)\implies a$ es invertible.

Estoy tratando de demostrar que en el opuesto de la categoría de conmutativa $k$-álgebras de $k$ a (conmutativa unitario) del anillo, tomadas con la topología de Zariski, canónica de la línea objeto de $R=\operatorname{Spec}k[x]$ es un anillo de fracciones. Me gustaría hacer esto utilizando el lenguaje interno, pero estoy un poco atascado en el principio.

Desde $$\mathsf{Hom}(\operatorname{Spec}S,R)\cong \mathsf{Hom}(k[x],S)\cong \mathsf{Hom}(1,US)\cong S$$ it kind of looks like I'm supposed to prove that $S$ is literally a field, which makes no sense. I don't see where I can use the locality of the internal language to restrict to the cover $S_a,S_{1}$.

Entonces, ¿cómo puedo completar esta prueba?

Añadido. Este papel por Kock contiene la proposición 2.2 una prueba de una fuerte demanda. El autor parece decir $\neg(a=0)$ significa que, dada nuestra $a:\operatorname{Spec}S\to R$ si $a\circ b:\operatorname{Spec}T\to R$ es trivial, i.e $b\circ a:k[X]\to T$ es cero, $T$ es cero. Pero entonces, dado $a$, solo tome $b$ a ser la natural proyección de $S\to S/(aX)$. A la conclusión de $S/(aX)$ debe ser cero, lo que significa que $aX$ debe ser invertible en a $S$.

Dos cosas me confundan ahora:

1. ¿Por qué este acabado la prueba? No necesitamos mostrar $a:k[x]\to S$ es un isomorfismo?
2. Originalmente quería utilice la tabla en las páginas 7,8 de estas notas por Ingo Blechschmidt, y no $U\models\neg \varphi \implies \psi$ se dice que el significado que para cada abierto $V\subset U$ si $V\models \phi \implies \psi$$V=\emptyset$. Sin embargo, los anillos de $S,S/(x)$ no parecen tener nada que ver con la abre de $R$. Puede alguien explicar cómo escribir la prueba de realidad mediante el lenguaje interno, como se presenta en la tabla?

Answer 1

Las respuestas a las preguntas 1 y 2 están muy relacionadas.

En la tabla de las notas que citaron da la Kripke–Joyal semántica de la pequeña Zariski topos. Esta es la categoría de conjunto de valores de las poleas en $\operatorname{Spec}(k)$. En su lenguaje interno de la instrucción "$\neg(a = 0) \Rightarrow \text{$$ is invertible}$" no se sostiene en general.

Se está trabajando con el gran Zariski topos, que se describe en la Sección 13 de las notas. Esta es la categoría de las poleas en el Grothendieck sitio $\mathrm{Alg}(k)^\mathrm{op}$ (o más bien su completa subcategoría consiste solamente en la finitely presentó $k$-álgebras). El Kripke–Joyal semántica de este topos es muy similar a la semántica de los pequeños topos, pero con la diferencia crucial de que las cláusulas de implicación y cuantificación universal consulte arbitraria de las álgebras sobre el anillo de la base (en lugar de sólo las localizaciones de la misma). Una tabla de dar todas las reglas de la Kripke–Joyal semántica de la gran Zariski topos se registra en el nLab.

Para responder a su primera pregunta, sólo traducir la fórmula de uso interno "$\forall a{:} \mathbb{A}^1. \neg(a = 0) \Rightarrow \text{$$ is invertible}$" el uso de la Kripke–Joyal semántica (teniendo en cuenta que el valor de la estructura de la gavilla $\mathbb{A}^1$ en la etapa de $S$ es, precisamente,$S$, como se explicó) para ver por sí mismo que Kock la prueba le da lo que quiere.

También se preguntan si la puramente interna de la prueba es posible, es decir, una prueba de que no hace uso de los Kripke–Joyal semántica a primera traducir la fórmula de uso interno a uno externo y, a continuación, compruebe la externa. Tienes que especificar que los axiomas desea permitir a ti mismo para esto. Si sólo se permite que los axiomas de un anillo o incluso un anillo local, entonces usted no tendrá éxito, ya que la afirmación es falsa para cualquier local de los anillos. Usted necesidad de permitir a algún ingrediente en particular a la Zariski topos. De hecho, creo que la afirmación de sí mismo como una particularidad, y podría incluir como un axioma para demostrar internos de otros estados de cuenta.