Ecuación diofantina (utilizar el grupo ideal de la clase para resolverla)

Question

Utiliza el grupo de clase ideal para encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación $$x^3=y^2+200$$

Mi enfoque: Observar que $\mathbb{Z}[\sqrt-2]$ es el campo de enteros del anillo $\mathbb{Q}(\sqrt -2).$ Factorice el lado derecho de la ecuación para obtener $$(y-10\sqrt-2)(y+10\sqrt-2)$$ Así, podemos considerar la ecuación como una igualdad de $\textbf{principal ideals}$ : $$(x^3)=(y-10\sqrt-2)(y+10\sqrt-2)$$

Si podemos mostrar los ideales principales $(y-10\sqrt-2)$ y $(y+10\sqrt-2)$ son coprimos, entonces por la factorización única de los ideales en un dominio Dedekind para obtener $$(y+10\sqrt-2)=I^3$$ para algún ideal $I$ en $\mathbb{Z}[\sqrt-2]$ . En otras palabras $I$ tiene un orden que divide $3$ en el grupo de clases ideales, además, por el orden del grupo de clases ideales de $\mathbb{Z}[-\sqrt2]$ es 1 para obtener $I$ es principal.

Lo siguiente es suponer $I=(a+b\sqrt -2)$ y obtener $(a+b\sqrt-2)^3=y+10\sqrt-2$ para algunos $a,b \in \mathbb{Z}$ entonces uno puede igualar los coeficientes y resolver para $y$ ...

Pero, ¿cómo mostrar $(y-10\sqrt-2)$ y $(y+10\sqrt-2)$ ¿son ideales coprimos? Pretendo demostrarlo por contradicción: Supongamos que no son coprimos, entonces existe un ideal primo propio $P \subset \mathbb{Z}[\sqrt-2]$ tal que $P$ contiene ambos ideales principales, se deduce que $$y-10\sqrt-2, y+10\sqrt-2, 2y, 20\sqrt-2, x$$ están todos en $P$ por lo que la norma de $P$ divide la norma de cada uno de los números anteriores. Observa que $Norm(20\sqrt-2)=200=2^3*5^2$ si se puede demostrar la norma de $norm(x)=x^2$ es coprima de $200$ entonces llegamos a una contradicción.. Pero no puedo hacer eso en este caso ya que $x$ puede no ser coprima de $200$ ? Si es así, ¿cómo demostrar que los dos ideales principales son coprimos?

Answer 1

Es posible que pueda sacar adelante este tipo de argumento:

Supongamos que 5 divide a ambos $y+10\sqrt{-2}$ y $y-10\sqrt{-2}$ . Entonces $5\mid x^3$ Así que $5^3\mid x^3$ Así que $5^2$ debe dividir uno u otro de $y\pm10\sqrt{-2}$ pero ninguno de los números $(y\pm10\sqrt{-2})/25$ está en ${\bf Z}[\sqrt{-2}]$ . Por lo tanto, 5 no es un divisor común.

Answer 2

Aunque se puede trabajar con elementos en lugar de ideales, como se ha señalado, no es necesario hacerlo. No creo que esto simplifique mucho las cosas, especialmente si estás contento con el uso de ideales. Entonces, ¿qué te parece esto?

Observa que no necesitas que los ideales sean coprimos, sólo que cada uno sea un cubo exacto.

Supongamos un ideal primo $P$ divide ambos $(y\pm10\sqrt{-2})$ . Luego divide su suma, $(20\sqrt{-2}) = (5)(\sqrt{-2})^5$ . Por lo tanto, o bien $P = (5)$ o $P = (\sqrt{-2})$ . Nótese que ambos ideales son sus propios conjugados. Conjugando la factorización primaria única, la potencia $e$ de cualquier ideal primo $Q$ dividiendo $(y+10\sqrt{-2})$ es igual a la potencia de $\bar{Q}$ dividiendo $(y-10\sqrt{-2})$ Así que $2e$ es divisible por $3$ por lo que también lo es $e$ .

Para completar la información, hay que tener en cuenta que sabemos que $(5)$ es primo aplicando el criterio de Dedekind a $X^2+2$ que es irreducible en $\mathbb{F}_5$ . También podríamos demostrar que $5$ es primo en $\mathcal{O}_K$ (que tendrías que hacer de todos modos usando el otro método, y (creo) requiere un poco más de trabajo, aunque sea más elemental).