Prueba de que ningún polinomio con coeficientes enteros puede producir sólo primos

Question

Haciendo un repaso de matemáticas discretas y estoy tratando de resolver el problema 1.6 del texto que se encuentra aquí: http://courses.csail.mit.edu/6.042/fall13/ch1-to-3.pdf - Creo que he conseguido las partes (a) y (b) correctamente, pero la (c) es un poco complicada para mí. Agradecería una revisión de a/b y una pista para c si es posible. Repaso aquí:

Para n = 40, el valor del polinomio $p(n)::=n^2 + n + 41$ no es primo, como se indica en la sección 1.1. Pero podríamos haber predicho, basándonos en principios generales, que ningún polinomio no constante puede generar sólo números primos.

En particular, dejemos que $q(n)$ sea un polinomio con coeficientes enteros, y sea $c::=q(0)$ sea el término constante de q.

(a) Verificar que $q(cm)$ es un múltiplo de c para todos los $m \in Z$

Prueba: Como q es un polinomio, será de la forma: $q(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + c$

Si $x = cm$ Entonces, observe que cm estará dentro de cada término del polinomio, y como el término final es c, c puede ser factorizado fuera de cada término. Por lo tanto, q(cm) es un múltiplo de c para todo $m \in Z$ .

b) Demuestre que si q es no constante y c > 1, entonces como n abarca los enteros no negativos, $N$ hay infinitas $q(n) \in Z$ que no son primos.

Prueba: Continuando con el resultado encontrado en (a), es fácil ver que para todo $m \in Z$ habrá un número infinito de múltiplos de c que serán generados por q. Como c > 1, se garantiza que estos múltiplos no son primos.

c) Concluya que para todo polinomio no constante, q, debe existir un $n \in N$ tal que $q(n)$ no es primo. Pista: Sólo queda un caso fácil.

c = 0 es trivialmente fácil de demostrar utilizando la (b) anterior.

Supongo que el caso "fácil" se refiere a c = 1, pero en este caso no estoy seguro de cómo continuar, ya que el resultado de (a) y (b) no se aplican: No puedo usarlos ya que sumar 1 a cualquier número par puede hacer que sea primordial. Si el resultado de los términos sin incluir c es impar, entonces sumando 1 a ese resultado lo hace par y no es primo. Sin embargo, si los términos suman un número par, no veo la forma de utilizar los conocimientos que tengo hasta ahora para demostrar de forma concluyente que ese número + 1 NO será primo.

Answer 1

Sugerencia $ $ Si $\,q(n)\,$ es primo para todo $\,n\,$ entonces $\,q(0) = p\,$ es primo, por lo tanto $\, p\mid q(pn)\,$ y $\,q(pn)\,$ es primo, por lo tanto $\,q(pn) = p\,$ para todos $\,n.\,$ Así, el polinomio $\,q(px)-p\,$ tiene infinitas raíces por lo que es cero, es decir $\,q(px) = p\,$ es constante, por lo que $\,q(x)\,$ es constante.

Nota: $ $ En general, es fácil de mostrar un polinomio no constante tiene un valor compuesto (sobre cualquier UFD con pocas unidades).

Answer 2

Yo diría lo contrario, incluso teniendo en cuenta el hecho de que $p(0) = \pm 1.$ En primer lugar, si $p(x)$ no es una constante , entonces $p(n) \to \pm \infty $ como $n \to \infty,$ ya que si $p$ tiene grado $d$ , digamos que $p(x) = a_{d}x^{d} + \ldots + a_{1}x+ a_{0},$ entonces $\frac{p(x)}{x^{d}}$ tiende a $a_{d}$ como $x \to \infty.$ Supongamos que $p(n)$ es $\pm 1$ o $0$ o $\pm$ (algún primo) para cada número entero $n.$ Dejemos que $h$ sea el menor número entero positivo tal que $p(h) \not \in \{-1,0,1 \}.$ Existe un número entero de este tipo $h$ por el comentario anterior. Supongamos que $p(h) = \pm q$ para algún primo $q.$ Entonces, para cada número entero positivo $t,$ vemos fácilmente que $p(h+qt)$ es divisible por $q.$ Pero para un tamaño lo suficientemente grande $t,$ vemos que $p(h+tq) \not \in \{,-q,0,q \},$ para que $p(h+tq)$ no es primo (y no es $\pm 1$ tampoco).