Prueba $\frac{1}{n^2}$ serie infinita converge sin prueba integral

Question

Sólo por curiosidad, me preguntaba si alguien sabe cualquier método (que no sea la prueba integral) de la prueba de la serie infinita donde el término enésimo se da en $\frac{1}{n^2}$ converge.

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}.$ $

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \ldots + \frac{1}{n(n-1)} = 1 - \frac12 + \frac12 - \frac13 + \ldots + \frac{1}{n-1}-\frac1n = 1 - \frac1n \to 1.$$

Answer 2

Con menos palabras. Esperemos que claro lo suficiente. Estilo de Oresme, pero convergiendo en este tiempo y demostrar que la suma es $<2$.