Sobre la base contable

Question

Hay alguna "segundo-contables" teorema ? Con esto me refiero a que si hay algún resultado como Nagata-Smirnov Teorema (que los estados condición necesaria y suficiente para que un espacio metrizable), pero para la segunda contable de los espacios. También, con Urysohn Metrization Teorema es inmediato probar que si un espacio es compacto y Hausdorff, entonces es secound contables iff es metrizable. Es allí cualquier resultado como este, pero con la hipótesis de que el espacio es sólo Hausdorff (quiero decir, algo como : sea X un espacio de Hausdorff. Entonces X es segundo contable fib [algo]) ?

Muchas gracias !

Answer 1

¿Cuál sería el uso? Ser segundo contables, no es una cosa difícil de comprobar: encontrar una contables de la base. La cosa agradable sobre el Bing-Nagata-Smirnov teorema es el hecho de que sustituye a la "difícil" tarea de encontrar una métrica que es compatible con la topología de la "más fácil" tarea de encontrar un tipo específico de base (además de la comprobación de $T_3$) (Esto sólo es "más fácil", dependiendo de cómo el espacio se define en primer lugar, por supuesto; pero este teorema también se utiliza para probar muchos otros metrization teoremas, y como tal es bastante útil). Además, la métrica es algo externo al espacio (por un lado, las necesidades de los reales como el codominio), mientras que la base es interna en el espacio. Lo mismo vale para el caso especial de Urysohn: tenemos una contables de base (fácil de comprobar) + $T_3$ (ídem) y obtener "gratis" compatible métrica en el espacio.

Así que mi pregunta es, ¿sería un simple condición de que el segundo contables (la coherencia de la propiedad usted se vincula parece ser menos simple)?