Que $X$ ser un espacio de Hausdorff y que $D \subseteq X$ ser localmente compacto y denso en $X$. ¿Por qué está abierta $D$?
Puedo ver que $D$ es regular pero no veo por qué $D$ de hecho está abierto.
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Matthew Scouten
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Si $D$ no está abierto, vamos a $p \in D$ tal que $D$ no contiene barrio (en $X$)$p$.
Desde $D$ es localmente compacto, existe un compacto $K \subseteq D$ que es un barrio (en $D$)$p$. Es decir, existe un conjunto abierto $U$ $X$ contiene $p$ tal que $U \cap D \subseteq K$. Ahora desde $D$ es denso en $X$, si el conjunto abierto $U \backslash K$ no estaba vacía que contiene un miembro de $D$, lo que contradice $U \cap D \subseteq K$. Así que, de hecho
$U \backslash K = \emptyset$, es decir,$U \subseteq K \subseteq D$, es decir, $D$ contiene una vecindad de a $p$.
Cada vez que escribo $\overline{A}$, esto significa que el cierre de $A$$X$.
Tomar un punto de $d \in D$ y elija abrir un vecindario $U$ $d$ $D$ tal que $F = \overline{U} \cap D$ es compacto (por local compacidad de $D$). A continuación, $F$ también está cerrado en $X$ desde la inclusión $D \subset X$ es continua. Debido a $U \subset F$ $F \subset X$ es cerrado tenemos $\overline{U} \subset F \subset D$.
Ahora $U$ está abierto en $D$, de modo que se abra $V \subset X$ tal que $U = D \cap V$. Como $D \subset X$ es densa y $V$ está abierto, $\overline{D \cap V} = \overline V$. Por lo tanto,$V \subset \overline{V} = \overline{D\cap V} = \overline{ U} \subset F \subset D$. Pero por supuesto, $d \in V$ $V$ está abierto en $X$ y hemos argumentado que $V \subset D$. Por lo tanto, $D$ está abierto en $X$.
