La siguiente pregunta se me ocurrió mientras hacía ejercicios en Hartshorne. Si $A \to B$ es un homomorfismo de anillos (conmutativos, unitales) y $f : \text{Spec } B \to \text{Spec } A$ es el morfismo correspondiente sobre los espectros, hace $f$ biyectiva implican que $f$ es un homeomorfismo? Si no es así, ¿alguien puede dar un contraejemplo? La razón por la que esto me parece razonable es porque creo que el mapa de conjuntos inverso debe preservar las inclusiones de ideales primos, que es el significado de la continuidad en la topología de Zariski, pero no puedo hacer esto riguroso.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No. Deja que $A$ sea un DVR. Sea $k$ sea el campo de residuos, $K$ el campo del cociente. Existe un mapa $\mathrm{Spec} k \sqcup \mathrm{Spec} K \to \mathrm{Spec} A$ que es biyectiva, pero no un homeomorfismo (un lado es discreto y el otro no). Nótese que $\mathrm{Spec} k \sqcup \mathrm{Spec}K = \mathrm{Spec} k \times K$ , por lo que se trata de un esquema afín.
Como observa Matt E más abajo en los comentarios, se pueden construir más ejemplos geométricos de este fenómeno (por ejemplo, el coproducto de una línea perforada más un punto que se mapea a una línea): la cuestión es que las cosas pueden ir muy mal con la topología.
