El uso de la construcción$R_N = K[t^\frac1N]$$L_N = Quot(R_N)$ y$P = \bigcup_{N\in \mathbb{N}} L_N$ uno automáticamente consigue que las series Puiseux son un campo. Sin embargo, son también un cuerpo algebraicamente cerrado si$K$ es también un campo algebraico cerca. ¿Porqué es eso?
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Bryan Roth
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El Puiseux campo en $K$ es algebraicamente cerrado iff $K$ es algebraicamente cerrado de característica cero.
Una prueba de este resultado con el uso de la teoría de la estructura de las extensiones de los campos locales se pueden encontrar como Teorema de 15 en estas notas. Brevemente, la idea es que tenemos que considerar unamified, confiando inocentemente se ramificó y salvajemente ramificado extensiones con el fin de obtener de valores de campo para su clausura algebraica. Decir que empezamos con el de la serie de Laurent de campo $K((t))$. A continuación, el residuo de campo es $K$, que es algebraicamente cerrado, por lo que no hay unramified extensiones. Entonces llegamos a totalmente confiando inocentemente ramificado extensiones que se obtienen mediante la toma de $n$th raíces de uniformizers -- y la Kummer teoría sale especialmente bien aquí (Teorema 11): resulta que llegamos precisamente a la serie de Puiseux campo $\bigcup_n K((t^{\frac{1}{n}}))$. Ahora en general (y en particular, en característica positiva!) todavía tendría que lidiar con la muy ramificado extensiones. Pero aquí el residuo característico es cero, de modo que, por definición, no hay salvajemente ramificado extensiones. Entonces, hemos hecho todo el camino a la clausura algebraica.
[Otras respuestas también son posibles. Tal vez alguien va a proporcionar uno...]
La prueba de que el método de Newton-Puiseux teorema es una forma relativamente sencilla aplicación de Hensel del Lexema. A continuación es un extracto de Abhyankar: Geometría Algebraica para los Científicos y los Ingenieros. Uno puede leer el texto completo de dos páginas de prueba en Google Libros. Abhyankar es un maestro en esta área y un maestro talentoso, así que te recomiendo la lectura de sus exposiciones. En particular, véase también su hermosa exposición Histórica divagaciones en la geometría algebraica y relacionados con el álgebra, que ganó un Lester R. Ford premio y un Chauvenet premio.
Tenga en cuenta que el método de Newton y relacionados con la aproximación sucesiva esquemas son esencialmente casos especiales de una forma generalizada de Hensel del Lexema. Ver a mi 1996.10.15 de la lesión.matemáticas post para referencias. También se puede generalizar algunas de estas ideas para ciertos funcional y ecuaciones diferenciales, por ejemplo, ver mi $\rm\:TaylorSolve\:$ comando en $\rm\:Macsyma\:.$
user3035
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Como Pete Clark señaló, usted necesita $K$ a ser de característica cero, para que esto sea válido. Decir que la serie de Puiseux son una algebraicamente cerrado de campo, es decir que si $f(x,y) = \sum_{i=0}^n P_i(x)y^i$ es un polinomio cuyos coeficientes son fracciones de serie de Puiseux $P_i(x) = \sum_{j = 0}^{\infty} a_{ij} x^{j \over N}$,$P_n(x) = 1$, entonces uno tiene una factorización $$f(x,y) = \prod_{i=1}^n (y - Q_i(x))\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$$ Aquí las "raíces" $Q_i(x)$ también son fracciones de Puiseux de la serie sobre $K$, posiblemente con un mayor $N$.
La razón de esto es cierto, es como sigue. Newton método original para la búsqueda de Puiseux serie de polinomios de más de ${\mathbb R}$ trabaja más de arbitrario $K$ de característica cero, en el sentido de que produce un fraccionario de la serie de Puiseux $Q_1(x)$ tal que $f(x,y)$ factores $(y - Q_1(x))g(x,y)$ donde ahora se $g(x,y)$ es de la forma $\sum_{i=0}^{n-1} R_i(x)y^i$ cuando la $R_i(x)$ son fracciones de Puiseux de la serie. (Si usted piensa acerca de ello, hay una manera natural de multiplicar $y - Q_1(x)$ $g(x,y)$ juntos por lo que esta es bien definidos).
Y no funciona sólo para los polinomios, funciona para todas las $f(x,y)$ de la forma anterior $\sum_{i=0}^n P_i(x)y^i$; $f(x,y)$ no tiene que ser un polinomio, y la presencia de fracciones de poderes no juega ningún papel importante, ya que uno es, efectivamente, sólo la sustitución de la variable $x$ por la variable $x^{1 \over N}$ para algunos un gran $N$.
Una vez que usted ha $f(x,y) = (y - Q_1(x))g(x,y)$ a continuación, puede aplicar el procedimiento a $g(x,y)$ repetidamente hasta que usted tiene la factorización $(*)$.
