Delta-épsilon prueba de$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x}{x+1} = 1$

Question

Tengo un ejercicio donde se supone que voy a mostrar, por delta, epsilon prueba de que $\frac{x}{x+1}$ tiende a 1 $x$ va hacia el infinito positivo.

En nuestra facultad y la literatura, por los límites en el infinito se le suele llamar $\delta$ pequeño omega ($\omega$) en su lugar. De modo que la definición que yo uso es el siguiente:

$$x > \omega \Rightarrow |f(x)-A|\leq\epsilon$$ donde $$x > 0,\; \omega(\epsilon),\; \epsilon > 0$$ Tan bonito de definición estándar.

Ahora aquí está mi intento de prueba de: $$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x}{x+1} = 1$$

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Tenemos $$\left|\frac{x}{x+1}-1\right|\Leftrightarrow \left|-\frac{1}{x+1}\right|$$ También para los positivos $x$, $x + 1 > 0$ así: $$\frac{1}{x+1} \leq \epsilon$$ Que (de nuevo con la suposición $x > 0$) da: $$\frac{1}{\epsilon} - 1 \leq x$$ por lo que podemos utilizar $\omega(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} - 1$

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Estoy luchando un poco de análisis real en el momento, así que tengo muy poca confianza en sí mismos de que no estoy perdiendo algo importante. Sería muy apreciado si alguien puede echar un vistazo a mi prueba y dar retroalimentación.

Answer 1

La prueba va en la "dirección opuesta", como Skurmedel de ... El trabajo de Skurmedel se parece muy bueno "el trabajo de cero", cuyo objetivo es averiguar el$\delta(\epsilon)$ apropiado. Se suele hacer el trabajo que ha hecho, a continuación, se convierte en una prueba final de la siguiente manera:

Dejar $0<\epsilon<1$. Ponga$\delta(\epsilon):=\frac{1}{\epsilon}-1$ #%% A continuación, $$\left|\frac{x}{x+1}-1\right|=\left|\frac{-1}{x+1}\right|=\frac{1}{x+1}$ #% x> -1$ for $ x> 0$ (and, in particular, for $ $). Then $ $x>\delta(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}-1$ $ implies $$x+1>\frac{1}{\epsilon}$ x 1> 0$ and hence, since $ x> 0$ for $ $, this last statement is equivalent to $ $\epsilon >\frac{1}{x+1}(>0)$$ Therefore, $$%