Encuentra el resto de $2^{11}$ por $23$

Question

Mi intento fue:

Por el pequeño teorema de Fermat:
$$2^{22} \equiv 1 \pmod{23}$$ $$(2^{11})^2 \equiv 1 \pmod{23}$$

He comprobado con mi calculadora que el resto es en realidad $1$ . Sin embargo, me pregunto si puedo tomar la raíz cuadrada en ambos lados de la congruencia. ¿Alguna idea?

Gracias,

Answer 1

HINT $\rm\ \ mod\ 23\::\ \ 2\ \equiv\ 5^{\:2}\ \ \Rightarrow\ \ 2^{\:11}\ \equiv\ 5^{\:22}\ \equiv\ 1\ $ por el pequeño Teorema de Fermat.

Ver Criterio de Euler y reciprocidad cuadrática para entender lo que ocurre en general.

En cuanto a las raíces cuadradas, $\rm\ x^2 = a^2\ \iff\ (x-a)\ (x+a) = 0\ \iff\ x = \pm\: a\ \ $ es cierto en cualquier dominio integral, es decir, es cierto en cualquier anillo sin divisores de cero. Más concretamente, en $\rm\ \mathbb Z/p\:,\: $ tenemos primo $\rm\ p\ |\ (x-a)\ (x+a)\ \Rightarrow\ p\ |\ x-a\ $ o $\rm\ p\ |\ x+a\:,\: $ así que $\rm\ x \equiv \pm\: a\ \ (mod\ p)\:.$

Answer 2

Sí se puede tomar la raíz cuadrada, los elementos $\{0,1,2, \dots, 22\}$ forman un campo finito, cuando las operaciones se toman en módulo $23$ .

Eso sólo te dice que es $\pm 1$ Sin embargo.