Otra integral desordenada: $I=\int \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}\ dx$

Question

He encontrado la siguiente pregunta en un libro de prácticas de integración:-

$Q.$ Evaluar $$I=\int \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}\ dx$$ Para ello he sustituido $t^2=\frac {2-x-x^2}{x^2}\implies x^2=\frac{2-x}{1+t^2}\implies 2t\ dt=\left(-\frac4{x^3}+\frac 1{x^2}\right)\ dx$ . Por lo tanto, $$\begin{align}I&=\int\frac {\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}\ dx\\&=\int \left(\frac tx\right)\left(\frac{2t\ dt}{-\frac4{x^3}+\frac 1{x^2}}\right)\\&=\int \frac{2t^2\ dt}{\frac{x-4}{x^2}}\\&=\int \frac{2t^2(1+t^2)\ dt}{{x-4}\over{2-x}}\\&=\int \frac{2t^2(1+t^2)(5+4t^2-\sqrt{8t^2+9})\ dt}{\sqrt{8t^2+9}-(8t^2+9)}\end{align}$$ Ahora he sustituido $8t^2+9=z^2 \implies t^2=\frac {z^2-9}8 \implies 2t\ dt=z/4\ dz$ . Así, tras una simplificación, se obtiene $$\begin{align}I&=-\frac1{512}\int (z^2-9)(z+1)(z-1)^2\ dz\end{align}$$ No he tenido paciencia para resolver esta integración después de todas estas sustituciones sabiendo que se puede hacer (creo que me he equivocado en algún sitio pero no lo encuentro. Tiene que haber un $ln(...)$ término, creo). ¿Existe una forma más fácil de hacer esta integral, algo que también se pueda hacer rápidamente? Ya he probado las sustituciones de Euler, pero eso también es un lío.

Answer 1

Dejemos que $$\displaystyle I = \int \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}dx = \int\frac{\sqrt{(x+2)(1-x)}}{x^2}dx$$

Ahora dejemos $\displaystyle (x+2) = (1-x)t^2\;,$ Entonces $\displaystyle x = \frac{t^2-2}{t^2+1} = 1-\frac{3}{t^2+1}$

Así que $$\displaystyle dx = \frac{6t}{(t^2+1)^2}dt$$ y $$\displaystyle (1-x) = \frac{3}{t^2+1}$$

Tan Integral $$\displaystyle I = 18\int\frac{t^2}{(t^2+1)\cdot (t^2-2)^2}dt = 6\int\frac{(t^2+1)-(t^2-2)}{(t^2+1)\cdot (t^2-2)^2}dt$$

por lo que obtenemos $$\displaystyle I = 6\int\frac{1}{(t^2-2)^2}dt-6\int\frac{1}{(t^2+1)(t^2-2)}dt$$

Answer 2

Una pista: $\sqrt{2-x-x^2}=\sqrt{\frac94-(x+\frac12)^2}$
Sustituir $x+\frac12=t; dx=dt$
$$\int \frac{\sqrt{\frac94-t^2}}{(t-\frac12)^2}\ dt$$ Poner $\frac32\sin\theta=t;\frac32\cos\theta d\theta=dt$ $$\int \frac{\frac32\cos\theta.\frac32\cos\theta d\theta}{(\frac32\sin\theta-\frac12)^2}$$ $$9\int \frac{\cos^2\theta d\theta}{(9\sin^2\theta+1-6\sin \theta)}$$ Ahora haz $u=\tan\frac{\theta}2;du=\frac12\sec^2{\frac{\theta}2}d\theta$ $$\boxed{\sin\theta=\frac{2u}{1+u^2};\cos\theta=\frac{1-u^2}{1+u^2};d\theta=\frac{2du}{u^2+1}}$$ ¿Supongo que puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Dejemos que $$\displaystyle I = \int \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}dx = \int \sqrt{2-x-x^2}\cdot \frac{1}{x^2}dx\;, $$ Ahora usando la integración por partes

$$\displaystyle I = -\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x}-\int\frac{1+2x}{2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot \frac{1}{x}dx $$

Así que $$\displaystyle I = -\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x}-\underbrace{\int\frac{1}{\sqrt{2-x-x^2}}dx}_{J}-\underbrace{\int\frac{1}{x\sqrt{2-x-x^2}}dx}_{K}$$

Por lo tanto, para el cálculo de $$\displaystyle J = \int\frac{1}{\sqrt{2-x-x^2}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{2x+1}{2}\right)^2}}dx$$

Ahora dejemos $\displaystyle \left(\frac{2x+1}{2}\right)=\frac{3}{2}\sin \phi\;,$ Entonces $\displaystyle dx = \frac{3}{2}\cos \phi d\phi$

Así que obtenemos $$\displaystyle J = \int 1d\phi = \phi+\mathcal{C_{1}} = \sin^{-1}\left(\frac{2x+1}{3}\right)+\mathcal{C}$$

Del mismo modo, para el cálculo de $$\displaystyle K = \int \frac{1}{x\sqrt{2-x-x^2}}dx$$

Poner $\displaystyle x=\frac{1}{u}$ y $\displaystyle dx = -\frac{1}{u^2}dt$

Así que obtenemos $$\displaystyle K = -\int\frac{1}{\sqrt{2u^2-u-1}}du = -\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\sqrt{\left(u-\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}}dx$$

Así que obtenemos $$\displaystyle J = -\frac{\sqrt{2}}{3}\ln\left|\left(u-\frac{1}{4}\right)+\sqrt{\left(u-\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\right|+\mathcal{C_{2}}$$

Así que obtenemos $$\displaystyle J = -\frac{\sqrt{2}}{3}\ln\left|\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\right|+\mathcal{C_{2}}$$

Así que $$\displaystyle I = -\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x}-\sin^{-1}\left(\frac{2x+1}{3}\right)+\frac{\sqrt{2}}{3}\ln\left|\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\right|+\mathcal{C}$$

Answer 4

Utilizar la llamada sustitución de Euler y establecer $$\sqrt{2-x-x^2}=xt+\sqrt{2}$$