Preguntas sobre los derivados débiles

Question

Hay dos definiciones de diferenciación generalizada que parecen relevantes en el contexto de las EDP. (Es decir, generalizamos los objetos que se pueden diferenciar pero nos mantenemos en el espacio euclidiano. También hay otros tipos de generalizaciones que cambian el espacio como las derivadas de Frechet o Gateaux en espacios de Banach).

Una es que tomamos cualquier distribución (funcional lineal continua sobre $C^\infty_{com}$ con la topología de convergencia de todas las derivadas en norma sup) y lo precomponemos con la diferenciación veces un signo negativo. En este caso no se trata de la existencia.

La otra se llama "derivada débil" y se supone que sólo se aplica a funciones medibles de Borel localmente integrables, pero de nuevo en algún subconjunto abierto del espacio euclidiano. Entonces, la derivada débil puede existir o no, y cuando existe la definición es que es localmente integrable y debe satisfacer la relación de integración por partes contra funciones de prueba suaves y compactamente soportadas.

Deduzco que la primera generalización es una generalización incluso de la segunda, siempre que se identifiquen las funciones localmente integrables con sus distribuciones de integración. Así que la primera extiende la segunda extiende la diferenciación ordinaria. Mis preguntas son las siguientes, si esto es correcto:

1. ¿Qué distribuciones tienen antiderivadas? ¿Qué funciones localmente integrables tienen antiderivadas débiles? En el caso débil, ¿parece que esto tiene que ver con la continuidad absoluta?

2. Me resulta fácil formalizar una afirmación que diga que las derivadas dependen sólo de la información local para las derivadas débiles. Pero ¿hay algo así para las derivadas distributivas? ¿Qué significaría mirar localmente a una distribución?

3. En el caso de las derivadas débiles únicamente, que pueden no existir, ¿cuáles son algunos ejemplos de cuándo un $\alpha$ existe, pero existe una $\beta\le \alpha$ para lo cual el $\beta$ ¿la derivada débil no existe? ¿Y si en lugar de eso $\beta\ge \alpha$ lo que puede no ser trivial, ya que no creo que las antiderivadas sean gratuitas.

4. ¿Existe una heurística, muy parecida a la de las derivadas ordinarias, que me permita saber si la derivada débil existirá, y quizás incluso calcular rápidamente la respuesta? Ahora mismo, todo lo que puedo ver es que si la función es suave a trozos, entonces si existe una derivada débil, entonces se conoce todo el comportamiento excepto en los puntos de unión, y esos no importan ya que la derivada débil sólo está definida hasta a.e. Así que entonces si puedes venir con una buena razón por la que esta conjetura no funciona, entonces ningún otro candidato podría funcionar tampoco.

(Estoy leyendo el libro de Knapp sobre Análisis Avanzado)

Answer 1

Así que:

1. Sí. $u$ es AC si $\exists w\in L^1_{loc}$ tal que $u=\int w dx$ .
2. No. Las distribuciones son por definición funcionales, no funciones. Algunas distribuciones pueden identificarse con una función (como las funcionales lineales sobre $L^1_{loc}$ ), pero en general no tiene sentido hablar del valor de una distribución en un punto del espacio. Sólo se puede hablar del emparejamiento de la distribución con una función de prueba.
3. No estoy seguro de lo que quieres decir. Si la derivada de una función integrable existe, entonces debe coincidir con su derivada débil. Así que si $\beta\leq \alpha$ La existencia de la $\alpha-th$ derivada implica la existencia de la $\beta-th$ derivado débil. El camino inverso es trivial: tomar la integral de $|x|$ que tiene una derivada (fuerte) de orden uno, una derivada débil de orden 2, pero ninguna derivada de orden superior a 2.
4. No estoy 100% seguro de que esto sea cierto, pero me parece que, para tener una derivada débil, una función debe ser igual en casi todas partes a una función AC.

Answer 2

Ok, déjame elaborar mis comentarios. En lo sucesivo, escribiré "distribución" para denotar una distribución en $C_c^\infty(\Omega)$ para algún abierto fijo $\Omega \subset \Bbb{R}^d$ .

En primer lugar, cada función $f \in L_\rm{loc}^1(\Omega)$ induce una distribución $\varphi_f$ en $C_c^\infty (\Omega)$ por

$$ \varphi_f : C_c^\infty(\Omega) \to \Bbb{K}, g \mapsto \int_\Omega f(x) g(x) \, dx. $$

Obsérvese que el mapa $f \mapsto \varphi_f$ es no inyectiva en el nivel de las funciones individuales. Pero $\varphi_f = \varphi_g$ se mantiene si y sólo si $f = g$ casi en todas partes.

Ahora, decimos que una distribución $\varphi$ es de la clase $L^p$ (o $C^\infty$ o $C_c^\infty$ o ...) si $\varphi = \varphi_f$ se mantiene para algunos $f \in L^p$ (o $f \in C^\infty$ , ...).

Por último, podemos definir el multiplicación de una distribución arbitraria $\varphi$ con una función $f \in C^\infty(\Omega)$ por

$$ (f\cdot\varphi)(g) := \varphi(f \cdot g) \text{ for } g \in C_c^\infty(\Omega). $$

Esta definición es natural, porque $\varphi_{f \cdot g} = f \cdot \varphi_g$ se mantiene para $g \in L_\rm{loc}^1$ y $f \in C^\infty$ .

Ahora, podemos hablar localmente sobre las distribuciones en el siguiente sentido: Decimos que una distribución $\varphi$ es de la clase $L^p$ , $C^\infty$ ... en $x \in \Omega$ (o, más exactamente, en una zona de $x$ ), si existe una función $f \in C_c^\infty(\Omega)$ con $f \equiv 1$ en una zona de $x$ tal que $f \cdot \varphi$ es de la clase $L^p$ , $C^\infty$ , ... (según la definición anterior).

EDIT: Cabe destacar que el función $\chi_\Bbb{Q}$ considerada como una distribución es igual a la distribución cero. Por lo tanto, $\chi_\Bbb{Q}$ se consideraría como de clase $C^\infty$ con esta terminología. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que las distribuciones (o la integración contra funciones (suaves)) no "ven" conjuntos nulos.

Pero después de todo, $\chi_\Bbb{Q}$ es igual a la función cero en casi todas partes.

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Además, en cierta dominios (permítanme tomar $\Omega = \Bbb{R}^d$ para simplificar), se puede demostrar que existen antiderivadas, al menos para todas las distribuciones de orden finito . Aquí, una distribución $\varphi$ se llama de orden finito, si

$$ |\varphi(g)| \leq C \cdot \Vert g \Vert_N $$

es válida para todos los $g \in C_c^\infty(\Omega)$ para las constantes $C>0$ , $N \in \Bbb{N}$ independiente de $g$ y con

$$ \Vert g \Vert_N := \max \{ |\partial^\alpha g(x)| \mid x\in \Omega, |\alpha|\leq N\}. $$

El motivo es el siguiente: La clase de las distribuciones es la clase más pequeña que contiene todas las funciones continuas que también es cerrada bajo la toma de derivadas (débiles). Más concretamente, el teorema 6.28 del Análisis Funcional de Rudin afirma que para cada distribución $\Lambda$ en $\Omega$ existen funciones continuas $g_\alpha$ en $\Omega$ para cada multiíndice $\alpha$ , de tal manera que

1. cada compacto $K \subset \Omega$ interseca los soportes de sólo un número finito de $g_\alpha$ y
2. $\Lambda = \sum_\alpha D^{\alpha} g_\alpha$ .
3. Si $\Lambda$ es de orden finito, entonces $g_\alpha \equiv 0$ para todos los casos, excepto para un número finito de $\alpha$ .

Para cada $i \in \{1,\dots, d\}$ entonces podemos elegir una antiderivada (es decir, una función continua) $g_\alpha '$ de $g_\alpha$ en la dirección $e_i$ es decir, con

$$ \partial_i g_\alpha' = g_\alpha, $$

y con $g_\alpha ' \equiv 0$ si $g_\alpha \equiv 0$ . Para elegir esta antiderivada, utilizamos $\Omega = \Bbb{R}^d$ .

Así, es fácil ver que $\Gamma := \sum_\alpha g_\alpha'$ es una distribución bien definida con $\partial_i \Gamma = \Lambda$ .