¿Es necesaria la fricción para una curva Tractrix?

Question

¿Es necesaria la fricción para un Tractrix ¿Curva? (RESPUESTA)

1. Si la fricción es necesaria, *¿qué curva trazará la partícula si no hay fricción?* (SIN RESPUESTA)

2. Si la fricción no es necesaria, *¿qué curva trazará la partícula si hay fricción?* (RESPUESTA)

3.¿El montaje tiene una cuerda o una varilla rígida unida al tractor? (RESPUESTA)

He preguntado esto en un foro de Matemáticas porque aquí la fricción es para ser vista Matemáticamente y no físicamente.

NOTA Esto ocurrió cuando se hizo una pregunta en un WhatsApp grupo de física del que formé parte. Mi nivel de física no está ni de lejos para resolver este problema, pero la persona que lo resolvió en el grupo lo hizo asumiendo que la fricción no estaba presente. Pero la Wikipedia dice que la fricción está presente. Estaba confundido, de ahí esta pregunta.

Answer 1

La descripción matemática de un tractriz ni siquiera menciona la fricción.

La tractriz se define como una curva con la propiedad de que la distancia de cualquier punto de la curva a una recta fija medido a lo largo de la tangente de la curva es constante.

Esto puede ser interpretado en la mecánica clásica como la trayectoria de un objeto que es arrastrado por una cuerda en determinadas circunstancias -- y para ello interpretación probablemente hay que suponer que la intercia del objeto es despreciable en comparación con el rozamiento, de manera que su dirección de movimiento en cualquier punto es exactamente la dirección de la cuerda que tira de él. Sin embargo, esto es puramente una cuestión de interpretación y no forma parte de la definición de la curva que es totalmente independiente de estos conceptos físicos.

Answer 2

El único libro que he encontrado de fricción en relación con la superficie de revolución de la pseudoesfera de tractrix es el de E.H. Lockwood Un libro de curvas, Cambridge 1961 que también en una sola línea. puede haber otras referencias.

Tiene la propiedad de la longitud constante de la tangente (línea roja) $a$ definido como

$$ \frac {\sin \phi}{r} = \frac{1}{a} $$

A menos que dibujes el diagrama de fuerzas/vectores, no estás conectando la física y las matemáticas. Así que intenta dibujar uno. Tal vez sea sin fricción, ( iirc) la forma no cambia con use de la piedra de moler.

Una situación rudimentaria podría representarse así: Si $F_N$ es la fuerza normal en la interfaz tenemos la fuerza de fricción

$$ \tan \phi = \frac{F_{horiz}}{F_{vert}}$$ entonces la fuerza de molienda horizontal que es la fuerza de fricción que crea el desgaste en una piedra de ancho dado $w$ aproximadamente podría ser $ \dfrac{F \,\sin \phi}{2 \pi r w} $ constante en el área proyectada para la piedra de moler en forma de tractriz.

EDIT1:

Estoy tratando de averiguar otro contexto de cómo OP puede haber imaginado la generación de tractriz. Tiene que ver con las trayectorias ortogonales de los círculos cuyo rodamiento/arrastramiento en una línea que él parece suponer crea un locus tractriz. La tractriz se produce como envoltura tangente pero no como locus de un punto en un círculo rodante de cualquier manera.

Esta es una curva de arrastre sin balanceo. No hay balanceo en absoluto, sino sólo arrastre, por lo que los círculos se deslizan severamente en todas partes excepto en la cúspide, cuando el círculo entra en contacto con el eje x, una situación localmente parecida a la cicloide con velocidad nula en el eje x, sin arrastre. Por lo demás, el rozamiento es innecesario y no es necesario hacer referencia a este escenario.

La variable de arrastre como parámetro $h$ es válida para los círculos empujados (por favor, ¡no tractices!) :

$$ (x-h)^2 +(y-a)^2 = a^2 \tag1$$

con ecuaciones paramétricas

$$ x= (h - a \cos \phi),\, y= a ( 1 -\sin \phi) \tag2$$

Producen una trayectoria ortogonal de tractrices que esbozo aquí. El sobre de manivelas (línea verde) $PC = a $ toca la tractriz en $P$ . La tractriz es una en un conjunto de trayectorias ortogonales de arriba desplazadas/ deslizante círculos, a lo largo de líneas paralelas al eje x.

Las ecuaciones paramétricas de las trayectorias ortogonales coinciden con la traza estándar como:

$$ y = a (1-\sin \phi) ,\, -x = a ( \cos \phi + log(tan (\phi/2))) ,\, \tag3 $$

donde la pendiente $ \phi$ es una constante arbitraria (parámetro único) que se asocia a una longitud constante $a$ .

EDITAR 2:

Derivación de trayectorias ortogonales

Diferenciar (1)

$$ 2 (x-h) + 2 ( y-a) y^{\prime} =0 \tag4 $$

Para las Trayectorias Ortogonales tome la pendiente recíproca negativa

$$ \frac{dy}{y-a}= \frac{dx}{x-h} \tag5 $$

Integrar a continuación utilizando $\phi$ para una pendiente constante arbitraria como parámetro generador

$$ \frac{y-a}{x-h}= \tan \phi \tag6 $$

o esto es lo mismo que

$$ \frac{(y-a)}{\sqrt{(x-h)^2 + (y-a)^2}}=\frac{(y-a)}{a}=\sin \phi \tag7 $$

que es la EDO de la tractriz estándar (hasta $\pm$ signo del radical) para esta dirección de los ejes elegida que resulta en (3).

EDIT3:

Dibujar un tractriz no es tan difícil. No hay necesidad de modelar con la fricción y todo, no necesita complicar más de lo necesario.

Suponiendo que tenemos un peso de objeto arrastrado $W$ en una tabla plana de coeficiente de fricción $\mu$ entonces la fuerza o tensión en la cuerda sin peso debe ser mayor que $\mu W$ para que el movimiento se produzca en absoluto.

Arrastre de un imán en un plano vertical Incluyo una demostración sencilla (fuerza del imán en lugar de la gravedad, imán arrastrado por un trozo de papel).

Tractrix siguió pero sin dejar rastro

Errores en la Wiki de referencia. La longitud del arco debería ser $ a \log \dfrac {y_2}{y_1}$ .