Ejemplo de acción no transitiva de $\operatorname{Aut}(K/\mathbb Q)$ en las raíces en $K$ de un polinomio irreducible.

Question

Quiero encontrar un polinomio irreducible $f(x)$ en $\mathbb Q$ y una extensión finita no normal $K/\mathbb Q$ que contiene al menos dos raíces de $f(x)$ tal que $\operatorname{Aut}(K/\mathbb Q)$ actúa de forma no transitiva sobre las raíces de $f(x)$ en $K$ . No he podido encontrar ejemplos sencillos de esto.

Actualización: Julian Rosen dio una respuesta a la pregunta original anterior, pero ahora quiero imponer la condición de que $K$ está contenido en el campo de división de $f(x)$ porque estaba buscando extensiones de campo intermedias del campo de división.

Answer 1

Toma $f(x)=x^2-2$ , $K=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ . Entonces $K$ contiene dos raíces de $f$ pero no hay ningún automorfismo que las intercambie porque sólo una de las raíces es un cuadrado en $K$ .