La "izquierda a derecha" de la bicondicional es verdadero. Como se señaló en otra respuesta, podemos usar L'hôpital. Pero voy a utilizar un enfoque directo. Tenemos que mostrar que para arbitrariamente grande,$M$, tenemos para suficientemente grande $x$ la desigualdad de $\frac{f(x)}{x} > M$.
Por supuesto, para cualquier arbitrariamente grande, $M$ tenemos $f'(x) > 2M$ al $x>x_0$. Esto significa $f(x) \geq f(x_0) + 2M(x-x_0)$$x > x_{0}$. Tenga en cuenta también que hay un $x_1$ tal que para todo $x > x_1$, $f(x_0) + 2M(x-x_0) > {Mx}$. Por lo tanto, podemos ver que para $x > \max\{x_1, x_0\}$ tenemos $$\frac{f(x)}{x} \geq \frac{f(x_0) + 2M(x-x_0)}{x} > \frac{Mx}{x} = M $$
La "derecha a izquierda" de la bicondicional es falso. Considere la posibilidad de $f(x) = x^2(\sin x + 2)$. Este es positiva y acotada abajo por $x^2$, por lo tanto $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$ pero $f'$ oscila como $x \to +\infty$.
Podemos decir algo más débil, sin embargo, a saber, los siguientes
Teorema: Vamos a $f \in C^1(\mathbb{R})$ tal que $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$$ Then we have $$\limsup_{x \to +\infty} \ f'(x) = +\infty$$
Para demostrar esto, en primer lugar tenga en cuenta que para $f$, podemos suponer $f(0) = 0$ sin pérdida de generalidad. De hecho, definen $g(x) = f(x) - f(0)$ y la nota $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty \Longleftrightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty$ también $f' = g'$.
Podemos demostrar por contradicción. Supongamos que el $\lim \sup$ es finito o $-\infty$. Esto significa $f'$ está delimitado por encima de en $[M, +\infty)$ algunos $M>0$. Desde $f'$ es continua, por el teorema del valor extremo es bordeada por encima en $[0,M]$, y por lo tanto es bordeada por encima en $[0, +\infty)$. Por el valor medio teorema, tenemos que $\frac{f(x)}{x} = f'(\alpha)$ algunos $\alpha$$[0, x]$. Dejando $x \to +\infty$ podemos ver que $f'(\alpha)$ toma arbitrariamente grandes valores positivos, lo que contradice el hecho de que $f'$ está delimitado por encima de en $[0, +\infty)$.
Esto probablemente puede ser modificado de manera que la $C^1$ condición puede ser relajado (por ejemplo, para permitir que en los casos en que $f'$ es discontinuo), pero no estoy seguro de cómo hacerlo.
