He leído un poco sobre embalaje de esferas en cubos, pero imagino los cambios problema drásticamente cuando se trata de una esfera se llenan cubos unidad. Por ejemplo, ¿cuántos cubitos unidad podría uno cabe en una esfera de radio 5? Claramente el límite superior sería $\left \lfloor \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \right \rfloor$, pero me imagino que habrá mucho más espacio vacío que sólo una pequeña fracción de un cubo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nenad Dobrilovic
Puntos
970
Mientras que no hay ninguna razón obvia, en general, a esperar la solución óptima para ser un simple, muy lleno de la formación, hay motivos para pensar que esto es más probable en el caso de radio 5 (diámetro 10). Supongamos que busca una formación de la superposición de aspectos, cada uno centrado en el centro de la esfera, en el conjunto de la formación, siendo simétrica en tres direcciones ortogonales (en otras palabras, invariante bajo cualquier serie de ángulo recto de rotaciones). La máxima longitud posible de un rectángulo que se encuadra dentro de una esfera de diámetro 10 es 9. Dado que este es un entero impar, consideramos que las formaciones de tener un cubo con su centro en el centro de la esfera (en lugar de aquellos con 8 cubos de compartir un vértice en el centro de la esfera). Por simetría, como se describe, esto requiere cuboides con entero impar dimensiones, al menos dos de las dimensiones que son igual.
El uso del Teorema de Pitágoras para encontrar el largo de la diagonal de un rectángulo, y ya que la suma de tres impar plazas es impar, no cuboide puede tener una larga diagonal de longitud 10. Por ensayo y error, o el uso de Brahmagupta de la Identidad , dado que:
$$99 = 11 \times 9 = (3^2 + 2(1^2))3^2 = (3^2 + 2(1^2))(1^2 + 2(2^2))$$
hay, sorprendentemente, tres de estos aspectos con una larga diagonal $\sqrt{99}\approx9.9499$, a saber:
$$9 \times 3 \times 3 \qquad 7 \times 5 \times 5 \qquad 1 \times 7 \times 7$$
Esto sugiere una formación de nueve superposición de cuboides, integrada por tres de cada uno de estos tamaños. Una manera de describir la formación y el recuento de sus cubos es como sigue:
Empezar con un cubo de lado 5, centrada dentro de la esfera (125 cubos).
En cada una de sus caras, añadir un 5 x 5 bloque de cubos (+6 x 25 = 150 cubos). Esto le da a los tres 7 x 5 x 5 cuboides. El resultado también puede ser descrito como un cubo de lado 7, pero con todos los cubos a lo largo de sus bordes falta.
Agregar 1 cubo en el centro de cada uno de los de arriba "falta bordes" (más de 12 cubos). Esto le da a los tres 7 x 7 x 1 cuboides.
En el centro de cada uno de los principales 5 x 5 caras del sólido resultante, agregar un 3 x 3 bloque de cubos (+6 x 9 = 54 cubos). Esto le da a la 9 x 3 x 3 cuboides.
La formación resultante contiene 125 + 150 + 12 + 54 = 341 cubos.
Tal vez esta no es la óptima para una esfera de radio 5, pero el hecho de que cada vértice de cada uno de los nueve cuboides (72 puntos en total) está dentro de $(10-\sqrt{99})/2\leq0.026$ de la superficie de la esfera sugiere que puede ser difícil de superar.
Actualización 16 De Marzo De 2017 La solución anterior, resulta no ser el óptimo. Tenga en cuenta que organiza los cubos, a lo largo de cada uno de los tres ejes ortogonales que se llama X, Y y Z, en nueve "rebanadas", cada uno de un cubo de espesor. La configuración de la segunda y la octava rodajas a lo largo de cada eje (seis rebanadas en todos) es la siguiente.
Dos cubos adicionales pueden ser añadidos en cada rebanada deslizando dos filas de cubos de una distancia de la mitad de un cubo de longitud, la producción de la configuración a continuación.
Para que esto sea posible en cada una de las seis caras, el cuidado es necesario para evitar un cambio en una rebanada de bloqueo de un cambio en una cara en ángulo recto. Una forma de lograr esto es:
- Para los dos sectores en el plano X-Y, deslice filas paralelas al eje X.
- Para los dos sectores en el plano Y-Z, deslice filas paralelas al eje Y.
- Para los dos sectores en el plano X-Z, deslice filas paralelas al eje Z.
En términos de la superposición de cuboides, esto le da tres 7 x 6 x 3 cuboides, centrada en el centro de la esfera, con largo de las diagonales de la longitud de la $\sqrt{94}<10$.
En conjunto, esta suma 6 x 2 = 12 cubos.
El primer y el noveno rodajas en cada eje consisten en un 3 x 3 bloque de cubos. En forma similar, un cubo puede ser agregado a cada uno de los bloques por deslizamiento de una fila central de tres cubos de la mitad de un cubo de longitud. El resultado extra cuboides tiene dimensiones de 9 x 4 x 1, con una larga diagonal $\sqrt{98}<10$. Esto añade un nivel más de 6 cubos.
La formación resultante de estos cambios ha 341 + 12 + 6 = 359 cubos.
