¿Puedo determinar el término potencial en la ecuación de Schrödinger basándome en los valores propios?

Question

Imaginemos que sé que un determinado sistema puede describirse mediante una ecuación de Schroedinger unidimensional. Conozco el término de masa/momento, pero no la forma del potencial. Además, por alguna razón, conozco todos los valores propios de la energía. ¿Podría determinar el potencial correspondiente?

¿Cómo se generaliza esto a más de una dimensión?

Answer 1

Hay distintos potenciales que tienen los mismos valores propios pero uno. Se llaman isoespectrales. Mecánica cuántica supersimétrica se basa en esto. Por ejemplo, el potencial del pozo infinito $$ V_1(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \quad\hbox{if }\ 0\le x \le L \\ \infty &\hbox{otherwise}\, ,\end{array}\right. $$ comparte todos los valores propios con $$ V_2(x)=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\left(2\csc^2(\pi x/L)-1\right) $$ excepto el valor propio del estado básico $E_0^{1}=\hbar^2\pi^2/(2mL^2)$ . De hecho, de forma más general $E_k^{1}=E_{k-1}^2$ para $k=1,2,\ldots$ es decir, el primer estado excitado de $V_1(x)$ es el estado básico de $V_2(x)$ . (Las funciones propias son muy diferentes para los dos potenciales).

Supongo que esto significa que, a menos que sepas seguro que tiene todo los valores propios, no se puede determinar completamente el potencial

(Esto está sacado de las notas y de la reseña de Fred Cooper, así que espero que personas más informadas puedan señalar cualquier error en mi respuesta).