¿La intersección es conexa si la unión es simplemente conexa?

Question

Es bien sabido que la intersección de conjuntos conexos no es necesariamente conexa. Un ejemplo estándar son dos semicírculos, que se intersecan en un conjunto discreto $\{a,b\}$ .

Sin embargo, Mayer-Vietoris dice que si sustituimos las cosas por la conexión de caminos y suponemos que $X=\mathrm{int}(A)\cup \mathrm{int}(B)$ es simplemente conexo, entonces el resultado es válido.

Más concretamente, dados los conjuntos $A, B \subset X$ tal que $A,B$ están conectados por trayectorias y $X=\mathrm{int}(A) \cup \mathrm{int}(B)$ es simplemente conexa, entonces $A \cap B$ también está conectado por un camino (nótese el problema con el ejemplo estándar: el círculo no está simplemente conectado).

Por tanto, mi pregunta es: ¿se cumple lo anterior para la conectividad? Explícitamente,

Conjuntos dados $A, B \subset X$ tal que $A,B$ están conectados y $X=\mathrm{int}(A) \cup \mathrm{int}(B)$ es simplemente conexo, es $A \cap B$ ¿conectados?

Answer 1

No, esto no es cierto en general (al menos no sin más suposiciones sobre los dos conjuntos $A$ y $B$ como que ambos estén abiertos o cerrados).

Imagina un rectángulo sólido. Puedes dibujar dos conjuntos en forma de L $A$ y $B$ en su rectángulo, uno de los cuales es abierto, y el otro cerrado, de tal manera que su unión es todo el espacio, pero su intersección consiste en 2 rectángulos disjuntos.

Editar : He aquí una imagen del contraejemplo:

Edita 2: Se ha modificado la pregunta para que $\mathrm{int}(A) \cup \mathrm{int}(B)$ está simplemente conectado. En este caso este ejemplo ya no funciona por razones obvias, pero dejaré aquí la respuesta como contraejemplo de la situación más general en la que $A$ y $B$ pueden ser subconjuntos cualesquiera del espacio.

Answer 2

No, no es cierto. Puedes modificar el ejemplo estándar de dos semicírculos con "semicírculos" del círculo del topólogo. Esto asegura que la unión es simplemente conectado, pero se obtiene el mismo resultado que con los habituales medios círculos.