Contando el número de raíces reales de $y^{3}-3y+1$

Question

Aquí está mi pregunta:

Cuántos real de raíces hace que la ecuación cúbica $y^3-3y +1$?

Me gráficamente la función y cruza el eje x $3$ veces. Pero mi profesor no quiere una explicación gráfica. Así que en ese caso, yo estaba mirando el Teorema Fundamental del Álgebra y dice que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n raíces reales distintas. por lo tanto, no deben ser de 3 reales raíces?

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Parece que hay muchas formas de abordar este problema, después de todo. Y podemos extender esto a otros tipos de polinomios, no sólo cúbicas.

Answer 1

El polinomio dado, evaluado en $y\in\{-2,0,1,2\}$ exhibe tres cambios de signo, por lo tanto tiene menos $3$ raíces reales y obviamente no puede tener más de tres raíces.

Answer 2

La función tiene extremos donde

$$3y^2-3=0$$ i.e. at $y=\pm1$. The values at these extrema are $3$ and $-1$.

De modo que las variaciones de esta función continua se $-\infty,3,-1,\infty$, lo que demuestra que hay tres cambios de signo.

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Para un polinomio cúbico, la búsqueda de la extrema puede ser más eficiente que la del ensayo-y-error, porque es inmediatamente concluyentes.

En el caso de un desinflado polinomio $$x^3+px+q$$

los extremos se encuentran en $$x=\pm\sqrt{-\frac p3}$$ if $p<0$.

En este caso hay tres raíces reales si

$$\frac p3\sqrt{-\frac p3}-p\sqrt{-\frac p3}+q>0\text{ and }-\frac p3\sqrt{-\frac p3}+p\sqrt{-\frac p3}+q<0,$$ o

$$\frac{2p}3\sqrt{-\frac p3}<-|q|.$$

Answer 3

Que $f(y) = y^3 - 3y + 1$. A continuación se puede observar que $f(0) = 1, f(1) = -1$; así $f$ tiene al menos una raíz entre $0$y $1$, por el teorema del valor intermedio. Puede encontrar las otras dos raíces del mismo modo.

Answer 4

Usted podría utilizar la Fórmula de Cardano para comprobar de forma explícita.

Tal vez una especie de fresco manera que es completamente excesivo:

Mira el polinomio $P(y) = \frac{1}{4}y^4 - \frac{3}{2}y^2 + y$, cuya derivada es $y^3 - 3y^2 +1$

Puedes factor de $P(y) = \frac{1}{4}y(y-2)(y^2+2y-2)$. usar la fórmula cuadrática para determinar que las raíces de la tercer factor son reales.

Por Gauss Lucas-Teorema (las raíces de la derivada de $P$ están contenidas en el casco convexo de las raíces de la $P$), las raíces de $P'(y)$ también debe ser real, y $P'$ es el polinomio usted está interesado en.

Answer 5

Tres. Las raíces son $$ 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{9} \right) \approx 1.532, $$ $$ 2 \cos \left( \frac{4 \pi}{9} \right) \approx 0.347, $$ $$ 2 \cos \left( \frac{8 \pi}{9} \right) \approx -1.879. $$

Consulte la página 174 en Reuschle. Llegué por primera vez en el método de Gauss en el capítulo 9 de la Teoría de Galois por David R. Cox. El capítulo 9 se llama Cyclotomic Extensiones. La sección 9.2 se llama Gauss y las Raíces de la Unidad. Luego encontré una breve mención de la 1875 Reuschle libro en la página 195 de Teoría de los Números por Mathews (1892). Escribió

El lector que desee para obtener más numérico ilustraciones deben consultar Reuschle del Tafeln Complexer Primzahlen (Berlín, 1875).

O, vamos a $\omega$ ser un primitivo 9 de la raíz de la unidad, por lo que $$ \omega^9 = 1, $$ $$ \omega^3 \neq 1. $$ Para $$ t^9 - 1 = (t-1)(t^2 + t + 1)(t^6 + t^3 + 1), $$ encontramos $$ \omega \neq 1, \; \; \omega^2 + \omega + 1 \neq 0, \; \; \omega^6 + \omega^3 + 1 = 0. $$

A continuación, tomar $$ x = \omega + \frac{1}{\omega} $$ y calcular $$ x^3 - 3 x + 1 = \omega^3 + 1 + \frac{1}{\omega^3} = \frac{\omega^6 + \omega^3 + 1}{\omega^3} $$