Ley de Gauss establece que $\int_S \vec B\cdot d\vec S=0$. Pero la ley de la inducción establece que $\xi=-\frac {d\phi}{dt}$, donde $\phi=\int_S \vec B\cdot d\vec S$.
Así que si la ley de Gauss era correcta debe haber no hay inducción, porque entonces $\phi$ sería cero a través de cada lazo.
La definición de flujo magnético es
$$\Phi = \int_S d\vec{A}\cdot\vec{B},$$
donde la integral es no a través de una superficie cerrada en general. La Ley de Gauss requiere que la integral es a través de una superficie cerrada, es decir, no hay contradicción.
En particular, mira básica de la discusión de la Ley de Faraday. Siempre se ven a simple bucles o bobinas de alambre. Hay claramente no se cierran las superficies, de modo que la definición de flujo no puede implicar una superficie cerrada en estos casos. Sin una superficie cerrada es fácil pensar en casos donde el campo le da un valor distinto de cero flujo.
No creo que tengo que sacar una superficie cerrada, pero aquí es un ejemplo de una superficie abierta con un bucle cerrado en su garganta.
Esto es semejante a una red de mariposas.
Es a menudo el caso de que la superficie cerrada es en el plano del bucle para facilitar el cálculo, pero esto no siempre tiene que ser así.
Uno necesita pensar de la integral teoremas $$\begin{align} \int_V (\nabla \cdot \mathbf F) \, dV & = \int_{\partial V} \mathbf F \cdot d \mathbf S \tag 1 \\ \int_S (\nabla \times \mathbf F) \cdot d \mathbf S & = \int_{\partial S} \mathbf F \cdot d\mathbf r \tag 2 \end{align}$$ en el camino correcto, como en relación con un integrante de un derivado a una integral sobre la frontera. Son vastas generalizaciones del teorema fundamental del cálculo, $$\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a).$$
La terminología de "abierto" y "cerrado" es horrible y confuso. Uno debe pensar en términos de límites.
El 2-dimensiones de la superficie de aplicar Gauss la ley de (1) debe ser el límite de unos 3-dimensional de volumen. De Gauss, la ley sólo dice que la red de flujo magnético a través de cualquier límite es cero. Recorremos su argumento. A partir de la ley de Faraday de la inducción, $\partial_t \mathbf B = -\nabla\times\mathbf E$ tenemos que $$\int_{\partial S} \mathbf E \cdot d \mathbf r = \int_S (\mathbf \nabla \times \mathbf E) \cdot d \mathbf S = - \partial_t \int_S \mathbf B\cdot d\mathbf S.$$ Ahora, si $S = \partial V$, $S$ es un límite, entonces tendríamos $$-\partial_t \int_S \mathbf B \cdot d\mathbf S = -\partial_t \int_V (\underbrace{\nabla \cdot \mathbf B}_{=0}) \, dV = 0.$$ Sin embargo, si $S = \partial V$, entonces la integral original fue de más de $\partial (\partial V)$, es decir, el límite de una frontera. Pero es un estándar teorema de que el límite de una frontera es el conjunto vacío. Por lo tanto, no hay contradicción, como el original de la integral debe haber sido sobre el conjunto vacío, y por lo tanto trivialmente cero.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
