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¿Conversión de integrales dobles a forma polar: lo que los límites estaría aquí?

Para tener la integral siguiente:

x2dxdy(1+x2+y2)5

Sé convertir la integral usando coordenadas polares da:

r2cos2θ(1+r)5rdrdθ

Supongo va a r 0 hasta el infinito.

Pero, ¿θ?

11voto

Dr. MV Puntos 34555

Tenga en cuenta que para cubrir el R2, r se extiende desde 0 y θ extiende por un período entero de sin(θ) y cos(θ). (Por ejemplo, el primer cuadrante solo está cubierto por θ[0,π/2] r[0,).)

Por lo tanto,

\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^5}\,dx\,dy&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r^2\cos^2(\theta)}{(1+r)^5}r\,dr\,d\theta\\\\
&=\underbrace{\left(\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\,d\theta\right)}_{=\pi}\underbrace{\left(\int_0^\infty \frac{r^3}{(1+r)^5}\,dr\right)}_{=1/4}\\\\
&=\frac{\pi}{4}
\end {Alinee el}

8voto

Roger Hoover Puntos 56

Por simetría (son libres de intercambiar x y y) la integral dada equivale a: $$ \frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{x^2+y^2}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^5}\,dx\,dy = \pi \int_{0}^{+\infty}\frac{r^3}{(1+r)^5}\,dr = \color{red}{\frac{\pi}{4}}. su θ variable simplemente va (0,2π).

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