¿Conversión de integrales dobles a forma polar: lo que los límites estaría aquí?

Question

Para tener la integral siguiente:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} {{{x^2}dxdy}\over (1 + \sqrt{x^2 + y^2})^5}$$

Sé convertir la integral usando coordenadas polares da:

$$\int \int {{r^2 \cos^2 \theta} \over {(1 + r)^5}} rdrd \theta$$

Supongo va a $r$ $0$ hasta el infinito.

Pero, ¿$\theta$?

Answer 1

Tenga en cuenta que para cubrir el $\mathbb{R}^2$, $r$ se extiende desde $0$ $\infty$ y $\theta$ extiende por un período entero de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$. (Por ejemplo, el primer cuadrante solo está cubierto por $\theta \in [0,\pi/2]$ $r\in [0,\infty)$.)

Por lo tanto,

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^5}\,dx\,dy&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r^2\cos^2(\theta)}{(1+r)^5}r\,dr\,d\theta\\\\ &=\underbrace{\left(\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\,d\theta\right)}_{=\pi}\underbrace{\left(\int_0^\infty \frac{r^3}{(1+r)^5}\,dr\right)}_{=1/4}\\\\ &=\frac{\pi}{4} \end {Alinee el}$$

Answer 2

Por simetría (son libres de intercambiar $x$ y $y$) la integral dada equivale a: $$ \frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{x^2+y^2}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^5}\,dx\,dy = \pi \int_{0}^{+\infty}\frac{r^3}{(1+r)^5}\,dr = \color{red}{\frac{\pi}{4}}. su $\theta$ variable simplemente va $(0,2\pi)$.