Para tener la integral siguiente:
∫∞−∞∫∞−∞x2dxdy(1+√x2+y2)5
Sé convertir la integral usando coordenadas polares da:
\int \int {{r^2 \cos^2 \theta} \over {(1 + r)^5}} rdrd \theta
Supongo va a r 0 hasta el infinito.
Pero, ¿\theta?
Para tener la integral siguiente:
∫∞−∞∫∞−∞x2dxdy(1+√x2+y2)5
Sé convertir la integral usando coordenadas polares da:
\int \int {{r^2 \cos^2 \theta} \over {(1 + r)^5}} rdrd \theta
Supongo va a r 0 hasta el infinito.
Pero, ¿\theta?
Tenga en cuenta que para cubrir el \mathbb{R}^2, r se extiende desde 0 \infty y \theta extiende por un período entero de \sin(\theta) y \cos(\theta). (Por ejemplo, el primer cuadrante solo está cubierto por \theta \in [0,\pi/2] r\in [0,\infty).)
Por lo tanto,
\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^5}\,dx\,dy&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r^2\cos^2(\theta)}{(1+r)^5}r\,dr\,d\theta\\\\ &=\underbrace{\left(\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\,d\theta\right)}_{=\pi}\underbrace{\left(\int_0^\infty \frac{r^3}{(1+r)^5}\,dr\right)}_{=1/4}\\\\ &=\frac{\pi}{4} \end {Alinee el}
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