Es cierto que cada una de las $x_{n}$ es un producto de enteros de la forma
$2^{2^{m}}+1$ (aunque no de los que te han dicho).
Para probar esto, se corrige un $n\in\mathbb{N}$. Su definición de la $x_{n}$ reescribe
como $x_{n}=\sum\límites\limits_{\substack{i\in\left\{ 0,1,\ldots,n\right\}
;\\\dbinom{n}{i}\text{ es impar}}}2^{i}$.
Escribir $n$ en la forma $n=a_{k}2^{k}+a_{k-1}2^{k-1}+\cdots+a_{0}2^{0}$ para algunos
$k\in\mathbb{N}$ $a_{0},a_{1},\ldots,a_{k}\in\left\{ 0,1\right\} $.
(Esto es sólo la base-$2$ representación de $n$, posiblemente con ceros a la izquierda.)
Lucas del teorema dice
que si $i=b_{k}2^{k}+b_{k-1}2^{k-1}+\cdots+b_{0}2^{0}$ $b_{0}
,b_{1},\ldots,b_{k}\in\left\{ 0,1\right\} $, entonces
$\dbinom{n}{i}\equiv\dbinom{a_{k}}{b_{k}}\dbinom{a_{k-1}}{b_{k-1}}
\cdots\dbinom{a_{0}}{b_{0}}=\prod\limits_{j=0}^{k}\underbrace{\dbinom{a_{j}}{b_{j}}
}_{\substack{=
\begin{cases}
1, & \text{if }b_{j}\leq a_{j}\\
0, & \text{if }b_{j}>a_{j}
\end{casos}
\\\text{(desde }a_{j}\text{ y }b_{j}\text{ mentira en }\left\{ 0,1\right\}
\text{)}}}$
$=\prod\limits_{j=0}^{k}
\begin{cases}
1, & \text{if }b_{j}\leq a_{j}\\
0, & \text{if }b_{j}>a_{j}
\end{casos}
=
\begin{cases}
1, & \text{if }b_{j}\leq a_{j}\text{ for all }j\text{;}\\
0, & \text{otherwise}
\end{casos}
\mod 2$.
Por lo tanto, el $i\in\mathbb{N}$ que $\dbinom{n}{i}$ es
odd son precisamente los números de la forma $b_{k}2^{k}+b_{k-1}2^{k-1}
+\cdots+b_{0}2^{0}$ for $b_{0},b_{1},\ldots,b_{k}\in\left\{ 0,1\right\} $
la satisfacción de $\left( b_{j}\leq a_{j}\text{ for all }j\right) $.
Ya que todos estos $i$ satisfacer $i \in \left\{ 0,1,\ldots,n\right\}$
(porque de lo contrario, $\dbinom{n}{i}$ $0$ y por lo tanto no podría
ser impar), podemos reescribir esto como sigue: El
$i \in \left\{ 0,1,\ldots,n\right\}$ que $\dbinom{n}{i}$ es
odd son precisamente los números de la forma $b_{k}2^{k}+b_{k-1}2^{k-1}
+\cdots+b_{0}2^{0}$ for $b_{0},b_{1},\ldots,b_{k}\in\left\{ 0,1\right\} $
la satisfacción de $\left( b_{j}\leq a_{j}\text{ for all }j\right) $.
Ya que estos
los números son distintos (ya que la base-$2$ en la representación de cualquier
$i\in\mathbb{N}$ es único, como el tiempo que fije el número de dígitos), por lo tanto
se puede sustituir el $b_{k}2^{k}+b_{k-1}2^{k-1}+\cdots+b_{0}2^{0}$ $i$ en el
suma de $\sum\límites\limits_{\substack{i\in\left\{ 0,1,\ldots,n\right\} ;\\
\dbinom{n}{i}\text{ es impar}}}2^{i}$. Por lo tanto, esta suma se reescribe de la siguiente manera:
$\sum\limits_{\substack{i\in\left\{ 0,1,\ldots,n\right\} ;\\
\dbinom{n}{i}\text{ es impar}}}2^{i}
=\underbrace{\sum\limits_{\substack{b_{0},b_{1}
,\ldots,b_{k}\in\left\{ 0,1\right\} ;\\b_{j}\leq a_{j}\text{ para todo }j}
}}_{=\sum\limits_{b_{0}=0}^{a_{0}}\sum\limits_{b_{1}=0}^{a_{1}}\cdots\sum\limits_{b_{k}=0}^{a_k}
}\underbrace{2^{b_{k}2^{k}+b_{k-1}2^{k-1}+\cdots+b_{0}2^{0}}}_{=\a la izquierda(
2^{2^{k}}\right) ^{b_{k}}\left( 2^{2^{k-1}}\right) ^{b_{k-1}}\cdots\left(
2^{2^{0}}\right) ^{b_{0}}}$
$=\sum\limits_{b_{0}=0}^{a_{0}}\sum\limits_{b_{1}=0}^{a_{1}}\cdots\sum\limits_{b_{k}=0}^{a_{k}
}\left( 2^{2^{k}}\right) ^{b_{k}}\left( 2^{2^{k-1}}\right) ^{b_{k-1}
}\cdots\a la izquierda( 2^{2^{0}}\right) ^{b_{0}}$
$=\left( \sum\limits_{b_{k}=0}^{a_{k}}\left( 2^{2^{k}}\right) ^{b_{k}}\right)
\left( \sum\limits_{b_{k-1}=0}^{a_{k-1}}\left( 2^{2^{k-1}}\right) ^{b_{k-1}
}\right) \cdots\left( \sum\limits_{b_{0}=0}^{a_{0}}\left( 2^{2^{0}}\right)
^{b_{0}}\right) $
$=\left( \sum\limits_{b=0}^{a_{k}}\left( 2^{2^{k}}\right) ^{b}\right) \left(
\sum\limits_{b=0}^{a_{k-1}}\left( 2^{2^{k-1}}\right) ^{b}\right) \cdots\left(
\sum\limits_{b=0}^{a_{0}}\left( 2^{2^{0}}\right) ^{b}\right) $
$=\prod\limits_{g=0}^{k}\underbrace{\left( \sum\limits_{b=0}^{a_{g}}\left( 2^{2^{g}
}\right) ^{b}\right) }_{\substack{=
\begin{cases}
2^{2^{g}}+1, & \text{if }a_{g}=1;\\
1 & \text{if }a_{g}=0
\end{casos}
\\\text{(desde }a_{g}\in\left\{ 0,1\right\} \text{)}}}$
$=\prod\limits_{g=0}^{k}
\begin{cases}
2^{2^{g}}+1, & \text{if }a_{g}=1;\\
1 & \text{if }a_{g}=0
\end{casos}
$
$=\left( \prod\limits_{\substack{g\en\left\{ 0,1,\ldots,k\right\} ;\\a_{g}
=1}}\left( 2^{2^{g}}+1\right) \right) \underbrace{\left( \prod\límites
_{\substack{g\en\left\{ 0,1,\ldots,k\right\} ;\\a_{g}=0}}1\right) }_{=1}$
$=\prod\limits_{\substack{g\en\left\{ 0,1,\ldots,k\right\} ;\\a_{g}=1}}\left(
2^{2^{g}}+1\right) $.
Por lo tanto, $x_{n}=\sum\limits_{\substack{i\in\left\{ 0,1,\ldots,n\right\}
;\\\dbinom{n}{i}\text{ es impar}}}2^{i}=\prod\limits_{\substack{g\en\left\{
0,1,\ldots,k\right\} ;\\a_{g}=1}}\left( 2^{2^{g}}+1\right) $. Esto es claramente un producto de los números de Fermat.
