¿Qué es realmente un polinomio?

Question

Puedo realizar operaciones con polinomios. Puedo sumar, multiplicar y encontrar sus raíces. A pesar de ello, no puedo definir un polinomio.

No estuve en la clase de matemáticas avanzadas en 8º grado, luego en 9º grado me salté la clase y me uní a la clase más avanzada. Esta pregunta no tiene que ver con algo que no entienda; es algo que me perdí.

Mis clases no han cubierto lo que realmente es un polinomio. Puedo generar uno, pero no definirlo. En Internet he encontrado definiciones incompletas: "Que consiste en múltiples términos" o "Una expresión matemática que contiene 2 o más términos y variables".

Tomemos como ejemplo las siguientes expresiones:

$2x^2-x+12-2x^2+x-12$ . Consta de varios términos, pero también puede expresarse como $0$ . ¿Es el cero un polinomio?

¿Qué pasa con $x^{-1}$ ? $x^{-1}$ ¿tiene -1 ceros?">Me han dicho que éste no es un polinomio pero no entiendo por qué.

Es $x^2+x+1-x^{-1}-x^{-2}-x^{-3}$ ? un polinomio? ¿Contiene exponentes positivos y negativos?

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tl;dr: ¿Cuál es realmente la definición matemática de un polinomio? ¿Es $0$ un polinomio, y por qué no es $x^{-1}$ un polinomio bajo esta definición?

Answer 1

Un polinomio (en una variable) es una expresión de la forma $$ p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$$ donde los coeficientes $a_i$ son algún tipo de número (o más generalmente son elementos de un Anillo ). Los exponentes $1,2,\ldots n$ deben ser todos enteros.

A menos que hayamos sido tontos y $a_n=0,$ $n$ se llama el grado del polinomio. Podemos formalizar esto definiendo el mayor $n$ tal que $a_n\ne0$ como el grado.

Obsérvese que se permiten las constantes. $p(x) = 3$ es un polinomio de grado cero.

Has preguntado por el cero. Sí, $p(x) =0$ se considera un polinomio. Sin embargo, se observa que aquí hay un problema con la definición de grado, ya que no hay ningún coeficiente que sea distinto de cero. Por tanto, el grado del polinomio cero no está definido.

Esto nos permite decir que si multiplicamos dos polinomios $w(x)=p(x)q(x)$ con $p$ de grado $n$ y $q$ de grado $m,$ entonces $w$ tiene grado $n+m.$ (Obsérvese cómo el polinomio cero lo estropearía si su grado estuviera definido como cero, como las demás constantes).

Tienes razón en que la simplificación es importante. El $x$ es sólo un símbolo y siempre podemos "combinar términos similares" $$ a_lx^l+b_lx^l= (a_l+b_l)x^l.$$ Siempre combinamos todos los términos juntos y simplificamos para obtener una expresión en la forma anterior con un solo término para cada potencia antes de hacer cosas como considerar el grado.

Observa que podemos sumar dos polinomios según la regla de simplificación y obtener un polinomio como resultado. Esta es una buena razón para considerar el cero como un polinomio... permite que la suma de dos polinomios sea siempre un polinomio. Igualmente podemos multiplicar dos polinomios según la propiedad distributiva, la regla $$ (a_mx^m)(a_lx^l) = a_ma_l x^{m+l},$$ y la regla de simplificación aditiva. El resultado será otro polinomio.

Sí, los exponentes deben ser todos positivos. Por supuesto, son posibles otras expresiones, pero no se llaman polinomios. Términos como $x^{-3}$ se consideran parte de la familia de las funciones racionales (o, como ha señalado un comentarista, los polinomios de Laurent, que no deben confundirse con los polinomios (no cualificados)). Esto es sólo una definición y, por tanto, algo arbitraria (aunque las buenas definiciones son importantes para la organización). Es como decir $-4$ es un número entero pero no un número natural. Es cierto por definición, y sí, un poco arbitrario, pero sin embargo útil y una convención casi universal.

EDIT Como ha señalado Paul Sinclair en los comentarios, también hay polinomios en múltiples variables. Por ejemplo $$p(x,y) = A + Bx + Cy +Dx^2+Exy+Fy^2$$ es el polinomio general de grado dos en dos variables. El grado de un término no es más que la suma de los grados con respecto a las variables individuales. Así, un término como $3xy$ tiene grado dos y un término como $3x^4y^5z$ tendría el grado $4+5+1=10.$ El grado de un polinomio es el grado de su término de mayor grado con coeficiente no nulo.

Answer 2

Hay muchas respuestas buenas aquí y todas son esencialmente correctas, ¡aunque sean diferentes! Intentaré aportar otra, que es algo más abstracta que las otras. Normalmente no intentaría esto para un estudiante de secundaria, pero su muy buena pregunta merece diferentes tipos de respuestas. Tal vez ésta le ayude.

Es el "qué es realmente" de tu pregunta lo que quiero abordar. En las matemáticas de nivel más avanzado no se piensa tanto en lo que "es" algo como en su "comportamiento". (Lo mismo ocurre en los lenguajes de programación orientados a objetos = dices que estás estudiando informática. Si estás aprendiendo Java ya sabes de esto).

Para manipular polinomios (lo que ya sabes hacer) lo único que necesitas saber es la secuencia de coeficientes. Supondremos por el momento que esos coeficientes son números ordinarios. Es útil empezar esos coeficientes con el término constante. ya que el grado (que es el lugar que ocupa el último coeficiente distinto de cero) no es fijo. Así que el polinomio $$ 8x^3 + 5x + 7 $$ es "realmente" la secuencia $$ (7, 5, 0, 8) $$ o, si quieres $$ (7, 5, 0, 8, 0, 0, \ldots) $$ donde los ceros son eternos.

Lo que "realmente sólo" significa aquí es que si conoces las secuencias de coeficientes de dos polinomios puedes calcular la secuencia de su suma. Basta con sumar las secuencias elemento a elemento. También puedes calcular su producto. Es un poco más difícil de escribir el algoritmo, pero puedes entenderlo si entiendes cómo escribir un polinomio a la manera de la escuela secundaria con potencias de $x$ hace que la multiplicación sea automática.

Incluso puedes dividir un polinomio por otro siempre que estés dispuesto a permitirte un resto (y permitir fracciones para los coeficientes). De hecho, es posible que hayas aprendido a hacerlo y lo hayas llamado "división sintética".

También se puede "evaluar" un polinomio en un número $n$ cuando se conocen sus coeficientes.

Lo que todo esto significa en la práctica es que no se necesita " $x$ " o sus poderes para pensar en los polinomios. La "variable" sólo ayuda a mantener la aritmética de los polinomios. Y eso es tan útil que casi siempre escribimos los polinomios con una $x$ y no como una secuencia de coeficientes.

Por último, esta visión abstracta se presta a una mayor abstracción. Todo lo que necesitas saber para manipular polinomios (escritos como secuencias) es cómo sumar y multiplicar los coeficientes. Así que los propios coeficientes pueden ser polinomios. Así, por ejemplo, se puede pensar en $$ 4x^2y^3 + 6xy^3 - 2xy^2 $$ como "un polinomio en $x$ cuyos coeficientes son polinomios en $y$ ": $$ (0, -2y^2 + 6y^3 , 4y^3) = ((0), (0, 0, -2, 6), (0, 0, 0, 4)) $$ o como "un polinomio en $y$ cuyos coeficientes son polinomios en $x$ ". (Esa la escribes tú).

Los coeficientes pueden ser incluso matrices, cuando aprendas qué son las matrices y cómo sumarlas y multiplicarlas.

Otras reflexiones:

Puedes pensar en los algoritmos de adición y multiplicación que aprendiste hace tiempo como la aritmética de los polinomios, sólo que más complicada. Cuando "reúnes potencias iguales de $x$ " en un polinomio, sólo hay que sumar lo que se ve. Cuando se "juntan potencias iguales de $10$ " en la aritmética ordinaria hay que simplificar aún más "llevando", por lo que se sustituye, digamos, $21 + 7 \times 10$ por $1 + 9 \times 10$ .

Si se relaja el requisito de que los coeficientes sean $0$ a partir de algún punto, entonces se trata de una serie de potencias (formal), tradicionalmente escrita $$ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n . $$ Puedes sumarlos y multiplicarlos con las reglas habituales de los polinomios. Son series de potencias "formales" porque al intentar evaluarlas sustituyendo un valor por $x$ es mucho más sutil que para los polinomios. Eso se estudia en el cálculo. (Y las series de potencias formales tienen usos que no dependen de la evaluación).

Entonces puede decidir permitir algunos términos con poderes negativos, como $$ 4x^{-3} + 7x^{-1} + \text{ an ordinary formal power series} . $$ Se llaman "series de Laurent"; surgen cuando se estudian funciones de una variable compleja. Te esperan muchas matemáticas bonitas.

Answer 3

Nota: en esta respuesta intentaré motivar la definición que se utiliza en contextos más avanzados como el "álgebra abstracta". Esto puede ir más allá de lo que se encuentra en un típico libro de pre-álgebra, pero espero que muestre cómo la comunidad matemática ha encontrado una manera de llegar a una definición viable, incluso es menos obvio al principio.

Es difícil definir los polinomios porque hay una tensión entre varias de sus propiedades clave, que no coinciden del todo:

1. Un polinomio puede escribirse como una expresión de la forma $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ para algunos $n \geq 0$ y alguna elección de coeficientes $a_0, \ldots, a_n$ .

2. La suma de dos polinomios es un polinomio. El producto de dos polinomios es un polinomio. En conjunto, la colección de polinomios es la colección más pequeña que incluye todos los números, $x$ y es cerrado bajo adición y multiplicación.

3. Las expresiones $(x+1)(x-1)$ y $x^2-1$ determinan el mismo polinomio.

Si queremos utilizar algo como (1) como definición, acabamos con la cuestión de que $x$ y $2x$ se definen como polinomios, pero $x + 2x$ es un polinomio según (2) pero no tiene literalmente la forma mostrada en (1). Así que tenemos que definir una operación de "simplificación".

Si queremos usar algo como (2) como definición, entonces todavía tenemos el problema de definir cuándo dos polinomios son iguales, como señala (3).

En general, aunque es tentador definir los polinomios en términos de "expresiones", esto causa más problemas de los que vale. Por ello, en los textos más avanzados es habitual definir los polinomios de la siguiente manera:

Un polinomio (sobre los números reales) es una secuencia de números reales $(a_i : i \in \mathbb{N})$ en la que a lo sumo un número finito de términos es distinto de cero. Dos polinomios son iguales cuando son la misma secuencia.

Así que $(2,1,0,0,\ldots)$ y $(0,1,3,0,0,\ldots)$ son polinomios según esta definición. Por supuesto, el "polinomio" $(2,1,0,0,\ldots)$ se supone que significa $2 +x$ y $(0,1,3,0,0,\ldots)$ significa $x + 3x^2$ . Pero en estas definiciones no definir los polinomios en términos de las expresiones. Más bien, vemos las expresiones como nada más que notación - para las secuencias que son realmente polinomios.

Continuamos la definición definiendo la suma de polinomios mediante la fórmula $(a_n) + (b_n) = (a_n + b_n)$ .

La multiplicación se define de forma análoga a la Producto Cauchy : $(a_n)(b_n)$ se define como la secuencia $(c_n)$ donde $$ c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}. $$ Esta es exactamente la fórmula que descubrirías si multiplicaras polinomios al estilo habitual, de pre-álgebra.

De este modo, la colección de polinomios en la variable $x$ se identifica con el anillo $\mathbb{R}[x]$ que también se define como el conjunto de secuencias de reales con soporte finito con las operaciones indicadas anteriormente. Estas definiciones de las operaciones se encargan de la simplificación automáticamente, por lo que no tenemos que preocuparnos de los polinomios "no simplificados" en la definición formal.

Answer 4

Añadido: 15/12/2018

Aunque sigo pensando que las ideas de esta respuesta son geniales, en retrospectiva la exposición es deficiente. Como dice un comentarista, esta respuesta sería infinitamente más útil si realmente explicara las cosas en lugar de limitarse a exponerlas. En consecuencia, solicito que alguien la edite o reescriba totalmente para que la respuesta sea más comprensible. Si hay alguien que lo haga, por favor, coméntelo más abajo. Si no hay interesados, podría intentarlo yo mismo, aunque no estoy seguro de por dónde empezar.

la exposición y la falta de explicaciones

Las otras respuestas hacen un gran trabajo al dar una explicación no técnica. Para los usuarios del sitio web que están un poco más avanzados en sus estudios, aquí hay una respuesta bastante técnica.

Filosóficamente hablando, creo que el concepto polinomio con coeficientes en $R$ de alguna manera "es" el endofunctor $U \circ F : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ , donde $U$ es el functor de olvido $R\mathbf{Alg} \rightarrow \mathbf{Set}$ y $F$ es su unión izquierda. Esto se relaciona con la respuesta de Carl, a saber, que:

La suma de dos polinomios es un polinomio. El producto de dos polinomios es un polinomio. En general, la colección de polinomios es la colección más pequeña que incluye todos los números, x, y es cerrada bajo la adición y la multiplicación.

La razón por la que esta es una buena descripción de los polinomios es porque:

• Carl está siendo vago, y sólo hace hincapié en los polinomios con coeficientes enteros
• Un objeto de $\mathbb{Z}\mathbf{Alg}$ es sólo un anillo
• La firma $(+,\times,0,1)$ es lo suficientemente grande como para enunciar los axiomas de la teoría de anillos, por lo que sólo necesitamos el cierre bajo estas operaciones (y Carl está siendo vago y no incluye $0$ y $1$ .)

La razón por la que esta es una respuesta incompleta es porque

• no dice cómo decidir si dos polinomios son iguales o no.

Entonces, ¿cómo decidimos si dos polinomios son iguales o no? Aplicando los axiomas de la teoría de los anillos, por supuesto. Dos polinomios con coeficientes enteros son iguales si, y sólo si, se pueden utilizar los axiomas de la teoría de los anillos para demostrar que son iguales. En caso contrario, son distintos. Visto desde este punto de vista, no es demasiado sorprendente que la categoría $\mathbb{Z}\mathbf{Alg}$ de los anillos tiene una conexión directa con los polinomios.

Por cierto, creo que es igualmente el caso de que el concepto $R$ -combinación lineal "es" el endofunctor $U \circ F$ con $R\mathbf{Alg}$ se sustituye por $R\mathbf{Mod}$ . De hecho, hay todo un diccionario de estas cosas:

$R \mathbf{Alg} \mapsto \mbox{Polynomial with coefficients in $ R $}$

$R \mathbf{Mod} \mapsto \mbox{$ R $-linear combination}$

$\mathbf{Mon} \mapsto \mbox{Word}$

$\mathbf{Grp} \mapsto \mbox{Reduced Word}$

$\mathbf{PSet} \mapsto \mbox{Element}$

$\mathbf{SupLat} \mapsto \mbox{Subset}$

$\mathbf{Magma} \mapsto \mbox{Catalan Tree}$

etc. A la izquierda tenemos las categorías concretas, y a la derecha las mónadas que definen y por las que son definidas. El concepto técnico que subyace a esta correspondencia es el de adjunto monádico . Todo esto es bien conocido, por supuesto, pero me gusta asegurarme de que los conceptos aparentemente abstractos dan respuestas significativas y coherentes al tipo de preguntas que los estudiantes de 9º curso podrían hacer a su aparentemente humilde tutor de matemáticas. Este es el tipo de cosas que me entusiasmaron con las matemáticas en primer lugar :)

Answer 5

Un polinomio en la indeterminación $x$ es una expresión que se puede obtener a partir de números y del símbolo $x$ mediante las operaciones de multiplicación y suma.

$0$ es un polinomio, porque es un número.

Cualquier potencia entera positiva de $x$ es un polinomio, porque se puede obtener multiplicando el número apropiado de $x$ juntos (por ejemplo $x^3 = x \cdot x \cdot x$ ). Pero las potencias negativas y no enteras de $x$ no son polinomios (por ejemplo $x^{-1}$ no es un polinomio), porque esas operaciones sólo dan potencias enteras positivas de $x$ .