¿Puede tener un grupo incontable de $G$ numerable muchos distintos subgrupos isomorfos no?

Question

¿Un grupo incontable de $G$ tengan solamente contable muchos distintos subgrupos isomorfos no? Soy incapaz de producir un ejemplo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Según el Teorema de Nielsen-Schreier, cada subgrupo de un grupo libre está libre. Resulta que un grupo libre en generadores de $\aleph_\alpha$ $1\le\alpha\lt\omega_1,$ Dónde está un grupo incontable de solamente contable muchos subgrupos nonisomorphic.

Answer 2

Dado cualquier conjunto de $X$, es el Grupo abeliano libre $\Bbb Z[X]$ % tamaño $|X|+\aleph_0$, y tiene exactamente $|X|$ generadores. Por otra parte, si $G$ es un Grupo abeliano libre con $|X|$ generadores, entonces ellos son isomorfos.

Si $X$ es cualquier conjunto tal que $\{|Y|\mid Y\subseteq X\}$ es un conjunto contable, $\Bbb Z[X]$ exactamente que tendrá muchos subgrupos no isomorfas. Como hacen notas de bof en su respuesta, tomando cualquier $|X|<\aleph_{\omega_1}$ y $\aleph_1\leq|X|$ luego el grupo resultante es de hecho innumerables.